En el anillo $\mathbf R$ , tenemos $\forall x \in \mathbf R : x^2=x$ . Pruebe que en este anillo i) Todo elemento es igual a su inverso aditivo. ii) Este anillo tiene la propiedad conmutativa.

En el tiro con arco con una pistola especial, la probabilidad de acertar es del $90 \%.$ Si continuamos nuestro trabajo hasta que acertemos. i) ¿Cuál es la probabilidad de que se consuman exactamente $3$ bolas? ii) ¿Cuál es la probabilidad de que se consuman al menos $3$ bolas?

Sea $G$ un grupo y sea $a$ un miembro constante del mismo. Pruebe que \[G_a = \{x | \exists n \in \mathbb Z , x=a^n\}\] Es un subgrupo de $G.$

Encuentre el ángulo entre dos secciones comunes de la página $2x+y-z=0$ y el cono $4x^2-y^2+3z^2=0.$

En el triángulo $ABC$ se conoce la longitud del lado $AB$ y la altura $AH$. También sabemos que $\angle B = 2 \angle C.$ Construya este triángulo.

Inscriba en el triángulo $ABC$ un triángulo con perímetro mínimo.

Sean $f: \mathbb R \to \mathbb R$ y $g: \mathbb R \to \mathbb R$ dos funciones que satisfacen \[\forall x,y \in \mathbb R: \begin{cases} f(x+y)=f(x)f(y),\\ f(x)= x g(x)+1\end{cases} \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0} g(x)=1.\] Encuentre la derivada de $f$ en un punto arbitrario $x.$

Sean $x$ e $y$ dos números reales. Pruebe que las ecuaciones \[\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor =\lfloor x +y \rfloor , \quad \lfloor -x \rfloor + \lfloor -y \rfloor =\lfloor -x-y \rfloor\] Se cumplen si y solo si al menos uno de $x$ o $y$ es entero.

Sean $f: \mathbb R \to \mathbb R,g: \mathbb R \to \mathbb R$ y $\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ tres funciones ascendentes tales que \[f(x) \leq g(x) \leq \varphi(x) \qquad \forall x \in \mathbb R.\] Pruebe que \[f(f(x)) \leq g(g(x)) \leq \varphi(\varphi(x)) \qquad \forall x \in \mathbb R.\] Nota. La función $k(x)$ es ascendente si para todo $ x,y \in D_k, x \leq {y}$ tenemos $g(x)\leq{g(y)}$ .

Sean $x, y$ y $z$ tres números reales positivos para los cuales \[x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx.\] Encuentre el valor de $\frac{\sqrt x}{\sqrt x + \sqrt y+ \sqrt z}.$