$a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_n$ son $2n$ números reales positivos tales que $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ no son todos iguales. Y asume que podemos dividir $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ en dos subconjuntos con sumas iguales. Similarmente $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ tienen estas dos condiciones. Demuestra que existe un $2n$ - gono simple con lados $a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_n$ y paralelo a los ejes de coordenadas Tal que las longitudes de los lados horizontales están entre $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ y las longitudes de los lados verticales están entre $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ . (polígono simple es un polígono tal que no se intersecta a sí mismo)

Asume que $a_1, a_2, a_3$ son tres enteros positivos dados considere la siguiente secuencia: $a_{n+1}=\text{mcm}[a_n, a_{n-1}]-\text{mcm}[a_{n-1}, a_{n-2}]$ para $n\ge 3$ Demuestra que existe un entero positivo $k$ tal que $k\le a_3+4$ y $a_k\le 0$ . ( $[a, b]$ significa el menor entero positivo tal que $ a\mid[a,b], b\mid[a, b]$ también porque $\text{mcm}[a, b]$ toma sólo enteros distintos de cero esta secuencia se define hasta que encontremos un número cero en la secuencia)

El punto $A$ está fuera de un círculo dado $\omega$. Sean las tangentes desde $A$ a $\omega$ que se encuentran con $\omega$ en los puntos $S, T$ los puntos $X, Y$ son los puntos medios de $AT, AS$ sea la tangente desde $X$ a $\omega$ que se encuentra con $\omega$ en $R\neq T$. Los puntos $P, Q$ son los puntos medios de $XT, XR$ sea $XY\cap PQ=K, SX\cap TK=L$ demuestra que el cuadrilátero $KRLQ$ es cíclico.

Sean $a_1,a_2,\dots ,a_n>0$ números reales positivos tales que $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}=n$ probar que: $\sum_{i<j} \left(\frac{a_i-a_j}{a_i+a_j}\right)^2\le\frac{n^2}{2}\left(1-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}a_i}\right)$

Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ . Sea $R$ el radio de la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$ . Sean $A',B',C'$ los puntos en $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}$ respectivamente tales que $AH.AA'=R^2,BH.BB'=R^2,CH.CC'=R^2$ . Probar que $O$ es el incentro del $\triangle A'B'C'$ .

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Sea $K$ el punto medio de $AI$ y $BI\cap \odot(\triangle ABC)=M,CI\cap \odot(\triangle ABC)=N$ . Los puntos $P,Q$ están en $AM,AN$ respectivamente tales que $\angle ABK=\angle PBC,\angle ACK=\angle QCB$ . Probar que $P,Q,I$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo. Considerar un punto arbitrario $P$ en el plano del $\triangle ABC$ . Sean $R,Q$ las reflexiones de $P$ con respecto a $AB,AC$ respectivamente. Sea $RQ\cap BC=T$ . Probar que $\angle APB=\angle APC$ si y solo si $\angle APT=90^{\circ}$ .

Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ . Sea $K$ el punto medio de $AH$ . El punto $P$ está en $AC$ tal que $\angle BKP=90^{\circ}$ . Probar que $OP\parallel BC$ .

Sea $ABCD$ el trapecio tal que $AB\parallel CD$ . Sea $E$ un punto arbitrario en $AC$ . El punto $F$ está en $BD$ tal que $BE\parallel CF$ . Probar que las circunferencias circunscritas de $\triangle ABF,\triangle BED$ y la línea $AC$ son concurrentes.

Una recta $d$ se llama fiel al triángulo $ABC$ si $d$ está en el plano del triángulo $ABC$ y los reflejos de $d$ sobre los lados de $ABC$ son concurrentes. Demuestre que para cualesquiera dos triángulos con ángulos agudos que se encuentran en el mismo plano, o bien existe exactamente una recta fiel a ambos, o existen infinitas rectas fieles a ellos.