(a) Demuestra que para todos los enteros positivos $m,n$ tenemos \[\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)\cdots (k+m-1)=\frac{n(n+1)(n+2) \cdots (n+m)}{m+1}\]\n(b) Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales y grado $m.$ Si $n$ tiende a infinito, entonces demuestra que \[\frac{\sum_{k=1}^n P(k)}{n^{m+1}}\] Tiene un límite.

Sea $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ una secuencia de enteros positivos para la cual \[ a_{n+2} = \left[\frac{2a_n}{a_{n+1}}\right]+\left[\frac{2a_{n+1}}{a_n}\right]. \] Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $a_m=4$ y $a_{m+1} \in\{3,4\}$. Nota. $[x]$ es el entero más grande que no excede a $x$.

Suponga una tabla de $m \times n$. Escribimos un entero en cada celda de la tabla. En cada movimiento, elegimos una columna, una fila o una diagonal (diagonal es el conjunto de celdas donde la diferencia entre su número de fila y su número de columna es constante) y agregamos ya sea $+1$ o $-1$ a todas sus celdas. Demuestre que si para toda tabla arbitraria de $3 \times 3$ podemos cambiar todos los números a cero, entonces podemos cambiar todos los números de la tabla de $m \times n$ a cero. (Pista : Primero piense en cómo podemos cambiar el número de la tabla de $ 3 \times 3$ a cero.)

Sea $P$ un punto fuera del círculo $C$. Sean $PA$ y $PB$ las tangentes al círculo trazadas desde $C$. Elija un punto $K$ en $AB$. Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $PBK$ interseca a $C$ nuevamente en $T$. Sea ${P}'$ la reflexión de $P$ con respecto a $A$. Demuestre que \[ \angle PBT = \angle {P}'KA \]

Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ (más pequeño) en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Suponga que la altitud trazada desde $A$ interseca al círculo en $N$. Trace dos líneas a través del circuncentro $O$ de $ABC$ paralelas a $MB$ y $MC$, que intersecan $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Demuestre que $NK=NL$.

Sea $n$ un número natural y suponga que $ w_1, w_2, \ldots , w_n$ son $n$ pesos. Llamamos al conjunto de $\{ w_1, w_2, \ldots , w_n\}$ un Conjunto Perfecto si podemos lograr todos los pesos de $1,2, \ldots, W$ con sumas de $ w_1, w_2, \ldots , w_n$ , donde $W=\sum_{i=1}^n w_i $. Demuestre que si eliminamos el peso máximo de un Conjunto Perfecto, los otros pesos vuelven a formar un Conjunto Perfecto.

Encuentra todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales $\gcd(a,b)=1$ , y $\frac{a}{b}=\overline{b.a}$ . (Por ejemplo, si $a=92$ y $b=13$ , entonces $b/a=13.92$ )

$AH$ es la altura del triángulo $ABC$ y $H^\prime$ es la reflexión de $H$ a través del punto medio de $BC$. Si las líneas tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ y $C$ , se intersectan entre sí en $X$ y la línea perpendicular a $XH^\prime$ en $H^\prime$ , intersecta a $AB$ y $AC$ en $Y$ y $Z$ respectivamente, demuestra que $\angle ZXC=\angle YXB$.

Demuestra que para cada número natural $d$ , Existe un polinomio mónico y único de grado $d$ como $P$ tal que $P(1)$ ≠ $0$ y para cada secuencia como $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ de números reales que la relación de recurrencia que se muestra a continuación es verdadera para ellos, hay un número natural $k$ tal que $0=a_{k}=a_{k+1}= ...$ : $P(n)a_{1} + P(n-1)a_{2} + ... + P(1)a_{n}=0$ $n>1$

Ali coloca $5$ puntos en el plano de tal manera que no haya tres de ellos colineales. Ramtin añade un sexto punto que no es colineal con ninguno de los dos puntos anteriores. Ali quiere eventualmente construir dos triángulos a partir de los seis puntos de tal manera que uno pueda ser colocado dentro de otro. ¿Puede Ali colocar los 5 puntos de tal manera que siempre sea capaz de construir los triángulos deseados? (Decimos que el triángulo $T_1$ puede ser colocado dentro del triángulo $T_2$ si $T_1$ es congruente a un triángulo que está localizado completamente dentro de $T_2$ .)