Llama a un par de enteros $a$ y $b$ creadores de cuadrados, si $ab+1$ es un cuadrado perfecto. Determina para qué $n$ es posible dividir el conjunto $\{1,2, \dots , 2n\}$ en $n$ pares de creadores de cuadrados.

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos círculos que se intersectan en los puntos $A$ y $B$ . Define el punto $X$ en $\omega_1$ y el punto $Y$ en $\omega_2$ tales que la línea $XY$ es tangente a ambos círculos y está más cerca de $B$ . Define los puntos $C$ y $D$ como la reflexión de $B$ con respecto a $X$ y $Y$ respectivamente. Prueba que el ángulo $\angle{CAD}$ es menor que $90^{\circ}$

sea $\omega_1$ un círculo con $O_1$ como su centro, sea $\omega_2$ un círculo que pasa por $O_1$ con centro $O_2$ sea $A$ una de las intersecciones de $\omega_1$ y $\omega_2$ sea $x$ una línea tangente a $\omega_1$ que pasa por $A$ sea $\omega_3$ un círculo que pasa por $O_1,O_2$ con su centro en la línea $x$ e intersecta a $\omega_2$ en $P$ (no $O_1$ ) prueba que la reflexión de $P$ a través de $x$ está en $\omega_1$

sean $x,y,z$ números reales positivos, tales que $x+y+z=1399$ encuentra el $$\max( [x]y + [y]z + [z]x ) $$ ( $[a]$ es el mayor entero que no excede a $a$ )

Sea $S$ un conjunto finito con $n$ elementos. Dividimos $AS$ en $m$ partes disjuntas tales que si $A$ , $B$ , $A \cup B$ están en la misma parte, entonces $A=B.$ Encuentra el valor mínimo de $m$ .

Sea $n$ un entero positivo. Se dan $1369^n$ números racionales positivos con esta propiedad: si eliminamos uno de los números, entonces podemos dividir los números restantes en $1368$ conjuntos con igual número de elementos de tal manera que el producto de los números de los conjuntos sea igual. Demuestra que todos los números son iguales.

En el tetraedro $ABCD$ sean $h_a, h_b, h_c$ y $h_d$ las longitudes de las alturas desde cada vértice al lado opuesto de ese vértice. Demuestra que\n\[\frac{1}{h_a} <\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_d}.\]

Sea $\{a_n \}_{n=1}^{\infty}$ una secuencia tal que $a_1=\frac 12$ y\n\[a_n=\biggl( \frac{2n-3}{2n} \biggr) a_{n-1} \qquad \forall n \geq 2.\]\nDemuestra que para todo entero positivo $n,$ tenemos $\sum_{k=1}^n a_k <1.$

Sea $f : \mathbb N \to \mathbb N$ una función que satisface\n\[f(f(m)+f(n))=m+n, \quad \forall m,n \in \mathbb N.\]\nDemuestra que $f(x)=x$ para todo $x \in \mathbb N$ .

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , sean $I,J$ los puntos medios de las diagonales $AC, BD$ respectivamente y sea $O$ el centro del círculo inscrito en $ABCD.$ Demuestra que $I, J$ y $O$ son colineales.