Sea $ \triangle ABC$ un triángulo y $ (O)$ su circuncírculo. $ D$ es el punto medio del arco $ BC$ que no contiene a $ A$ . Dibujamos un círculo $ W$ que es tangente internamente a $ (O)$ en $ D$ y tangente a $ BC$ . Dibujamos la tangente $ AT$ de $ A$ al círculo $ W$ . $ P$ se toma en $ AB$ tal que $ AP = AT$ . $ P$ y $ T$ están en el mismo lado con respecto a $ A$ . DEMUESTRE $ \angle APD = 90^\circ$ .

Algunos de los vértices de la cuadrícula infinita $\mathbb{Z}^{2}$ faltan. Tomemos el resto como un gráfico. Conecte dos aristas del gráfico si son iguales en un componente y sus otros componentes tienen una diferencia igual a uno. Llame a cada componente conexo de este gráfico una rama . Suponga que para cada $n$ natural el número de vértices faltantes en el cuadrado $(2n+1)\times(2n+1)$ centrado en el origen es menor que $\frac{n}{2}$ . Demuestre que entre las ramas del gráfico, exactamente una tiene un número infinito de vértices.

Una esfera está inscrita en el poliedro $P$ . Las caras de $P$ están coloreadas de blanco y negro de manera que no hay dos caras negras que compartan una arista. Demuestre que la suma de la superficie de las caras negras es menor o igual que la suma de la superficie de las caras blancas.

Sea $z$ un número complejo no nulo tal que $Re(z),Im(z)\in \mathbb{Z}$ . Demuestre que $z$ es representable de forma única como $a_0+a_1(1+i)+a_2(1+i)^2+\dots+a_n(1+i)^n$ donde $n\geq 0$ y $a_j \in \{0,1\}$ y $a_n=1$ .

Una bola se coloca en un plano y se marca un punto en la bola. Nuestro objetivo es rodar la bola sobre un polígono en el plano de manera que regrese a donde comenzó y el punto marcado llegue a la parte superior. Tenga en cuenta que no podemos girar sin movernos, sino solo rodar. Demuestre que es posible.

¿Existen dos funciones $f,g :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que: $\forall x\not =y : |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|>1$ ?

Un triángulo arbitrario se divide en algunos triángulos homotéticos consigo mismo. La razón de homotecia de los triángulos puede ser positiva o negativa. Demuestre que la suma de todas las razones de homotecia es igual a $1$ .

Una permutación $\pi$ de $\{1,\dots,n\}$ se llama estable si el conjunto $\{\pi (k)-k|k=1,\dots,n\}$ consiste exactamente en dos elementos diferentes. Demuestre que el número de permutaciones estables de $\{1,\dots,n\}$ es igual a $\sigma (n)-\tau (n)$ en la que $\sigma (n)$ es la suma de los divisores positivos de $n$ y $\tau (n)$ es el número de divisores positivos de $n$ .

Suponga que $n>2$ y sean $A_1,\dots,A_n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. \n(a) Suponga que $M_1,\dots,M_n$ son puntos en los segmentos $A_1A_2,A_2A_3,\dots ,A_nA_1$ respectivamente. Demuestre que si $B_1,\dots,B_n$ son puntos en los triángulos $M_2A_2M_1,M_3A_3M_2,\dots ,M_1A_1M_n$ respectivamente entonces\n\[|B_1B_2|+|B_2B_3|+\dots+|B_nB_1| \leq |A_1A_2|+|A_2A_3|+\dots+|A_nA_1|\]\nDonde $|XY|$ significa la longitud del segmento de línea entre $X$ e $Y$ .\n(b) Si $X$ , $Y$ y $Z$ son tres puntos en el plano entonces por $H_{XYZ}$ nos referimos al semiplano que su límite es la bisectriz del ángulo exterior del ángulo $\hat{XYZ}$ y no contiene a $X$ y $Z$ , teniendo a $Y$ tachado. Demuestre que si $C_1,\dots ,C_n$ son puntos en ${H_{A_nA_1A_2},H_{A_1A_2A_3},\dots,H_{A_{n-1}A_nA_1}}$ entonces\n\[|A_1A_2|+|A_2A_3|+\dots +|A_nA_1| \leq |C_1C_2|+|C_2C_3|+\dots+|C_nC_1|\]

Divide un círculo en $2n$ secciones iguales. Llamamos a un círculo lleno si está lleno con los números $0,1,2,\dots,n-1$ . Llamamos a un círculo lleno bueno si tiene las siguientes propiedades: $i$ . Cada número $0 \leq a \leq n-1$ se usa exactamente dos veces $ii$ . Para cualquier $a$ tenemos que hay exactamente $a$ secciones entre las dos secciones que tienen el número $a$ en ellas. Aquí hay un ejemplo de un buen relleno para $n=5$ (Ver adjunto) Prueba que no existe un buen relleno para $n=1399$