Si $a_1<a_2<\cdots<a_n$ son números reales, demuestre que: \[ a_1a_2^4+a_2a_3^4+\cdots+a_{n-1}a_n^4+a_na_1^4\geq a_2a_1^4+a_3a_2^4+\cdots+a_na_{n-1}^4+a_1a_n^4. \]

Tenemos un tablero de ajedrez y llamamos a un cuadrado de $1\times1$ una habitación. Un robot está parado en un vértice arbitrario de las habitaciones. El robot comienza a moverse y en cada movimiento, se mueve un lado de una habitación. Este robot tiene $2$ memorias $A,B$ . Al principio, los valores de $A,B$ son $0$ . En cada movimiento, si sube, se añade $1$ unidad a $A$ , y si baja, se resta $1$ unidad de $A$ , y si va a la derecha, el valor de $A$ se añade a $B$ , y si va a la izquierda, el valor de $A$ se resta de $B$ . Suponga que el robot ha atravesado un recorrido (!) que no se ha intersectado a sí mismo y finalmente, ha regresado a su vértice inicial. Si $v(B)$ es el valor de $B$ al final del recorrido, demuestre que en este recorrido, la superficie interior de la forma en que el robot se ha movido en su circunferencia es igual a $|v(B)|$ .

$\angle{A}$ es el ángulo menor en $\Delta{ABC}$ . El punto $D$ está en el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $\Delta{ABC}$ . Las bisectrices perpendiculares de los segmentos $AB,AC$ intersecan la línea $AD$ en $M,N$ , respectivamente. El punto $T$ es el punto de encuentro de $BM,CN$ . Suponga que $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita de $\Delta{ABC}$ . Demuestra que: \[ BT+CT\leq{2R}. \]

Sean $x,y,z\in\mathbb{R}$ y $xyz=-1$ . Demuestra que: \[ x^4+y^4+z^4+3(x+y+z)\geq\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{z^2}{y}. \]

$n$ equipos de voleibol han competido entre sí (cada $2$ equipos han competido exactamente $1$ vez.). Para cada $2$ equipos distintos como $A,B$ , existen exactamente $t$ equipos que han perdido su partido con $A,B$ . Demuestra que $n=4t+3$ . (Notabene que en voleibol, no existe el empate!)

En un pueblo, hay $n$ casas con $n>2$ y todas ellas no son colineales. Queremos generar un recurso hídrico en el pueblo. Para hacer esto, el punto $A$ es mejor que el punto $B$ si la suma de las distancias desde el punto $A$ a las casas es menor que la suma de las distancias desde el punto $B$ a las casas. Llamamos a un punto ideal si no existe ningún punto mejor que él. Demuestra que existe a lo sumo $1$ punto ideal para generar el recurso.

Llamamos al entero positivo $n$ un número $3-$estrato si podemos dividir el conjunto de sus divisores positivos en $3$ subconjuntos tales que la suma de cada subconjunto sea igual a las demás. $a)$ Encuentra un número $3-$estrato. $b)$ Demuestra que hay infinitos números $3-$estrato.

Suponga que tenemos algunas proteínas que cada proteína es una secuencia de 7 'AMINO-ÁCIDOS' $A,\ B,\ C,\ H,\ F,\ N$ . Por ejemplo, $AFHNNNHAFFC$ es una proteína. Hay algunos pasos que en cada paso un aminoácido cambiará a otro. Por ejemplo, con el paso $NA\rightarrow N$ la proteína $BANANA$ cambiará a $BANNA$ ( 'en persa significa trabajador'). Tenemos un conjunto de pasos permitidos que cada proteína puede cambiar con estos pasos. Por ejemplo, con el conjunto de pasos: $\ 1)\ AA\longrightarrow A\ 2)\ AB\longrightarrow BA\ 3)\ A\longrightarrow \mbox{nulo}$ La proteína $ABBAABA$ cambiará así: $\ ABB\underline{AA}BA\ \underline{AB}BABA\ B\underline{AB}ABA\ BB\underline{AA}BA\ BB\underline{AB}A\ BBB\underline{AA}\ BBB\underline{A}\ BBB$ Ves que después de pasos finitos esta proteína terminará sus pasos. El conjunto de pasos permitidos para los cuales existe una proteína que puede tener infinitos pasos es peligroso. ¿Cuál de los siguientes conjuntos permitidos es peligroso? a) $NO\longrightarrow OONN$ b) $\left\{\begin{array}{c}HHCC\longrightarrow HCCH\ CC\longrightarrow CH\end{array}\right.$ c) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambien $\underbrace{AA\dots A}_{n}\longrightarrow\underbrace{BB\dots B}_{2^{n}}$ d) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambien $\underbrace{A\dots A}_{n}\underbrace{B\dots B}_{m}\longrightarrow\underbrace{CC\dots C}_{mn}$ Ves por $c$ y $d$ que podemos calcular las funciones $F(n)=2^{n}$ y $G(M,N)=mn$ con estos pasos. Encuentre algunas otras funciones calculables con estos pasos. (Tiene alguna marca extra).

Para cada $m\in \mathbb N$ definimos $rad\ (m)=\prod p_i$ , donde $m=\prod p_i^{\alpha_i}$ . Conjetura abc Suponga que $\epsilon >0$ es un número arbitrario, entonces existe $K$ dependiendo de $\epsilon$ que para cada 3 números $a,b,c\in\mathbb Z$ tal que $gcd (a,b)=1$ y $a+b=c$ entonces: \[ max\{|a|,|b|,|c|\}\leq K(rad\ (abc))^{1+\epsilon} \] Ahora demuestre cada una de las siguientes afirmaciones utilizando la conjetura $abc$ : a) Último teorema de Fermat para $n>N$ donde $N$ es algún número natural. b) Llamamos a $n=\prod p_i^{\alpha_i}$ fuerte si y sólo si $\alpha_i\geq 2$ . c) Demuestre que hay finitamente muchos $n$ tales que $n,\ n+1,\ n+2$ son fuertes. d) Demuestre que hay finitamente muchos números racionales $\frac pq$ tales que: \[ \Big| \sqrt[3]{2}-\frac pq \Big|<\frac{2^ {1384}}{q^3} \]

Definimos una relación entre subconjuntos de $\mathbb R ^n$ . $A \sim B\Longleftrightarrow$ podemos particionar $A,B$ en conjuntos $A_1,\dots,A_n$ y $B_1,\dots,B_n$ ( es decir, $\displaystyle A=\bigcup_{i=1} ^n A_i,\ B=\bigcup_{i=1} ^n B_i, \nA_i\cap A_j=\emptyset,\ B_i\cap B_j=\emptyset$ ) y $A_i\simeq B_i$ . Diga si los siguientes conjuntos tienen la relación $\sim$ o no? a) Números naturales y números compuestos. b) Números racionales y números racionales con dígitos finitos en base 10. c) $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 2\}$ y $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 3\}$ d) $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2+y^2<1\}$ y $A\setminus \{(0,0)\}$