a) Sea $ ABC$ un triángulo, y $ O$ su circuncentro. $ BO$ y $ CO$ se intersecan con $ AC,AB$ en $ B',C'$ . $ B'C'$ interseca la circunferencia circunscrita en dos puntos $ P,Q$ . Demuestre que $ AP=AQ$ si y solo si $ ABC$ es isósceles. b) Demuestre la misma afirmación si $ O$ se reemplaza por $ I$ , el incentro.

Sean $ ABC$ , $ l$ y $ P$ un triángulo, una línea y un punto arbitrarios. $ A',B',C'$ son las reflexiones de $ A,B,C$ en el punto $ P$ . $ A''$ es un punto en $ B'C'$ tal que $ AA''\parallel l$ . $ B'',C''$ se definen de manera similar. Demuestre que $ A'',B'',C''$ son colineales.

Demuestre que para dos polinomios no nulos $ f(x,y),g(x,y)$ con coeficientes reales el sistema: \[ \left\{\begin{array}{c}f(x,y)=0\ g(x,y)=0\end{array}\right.\] tiene un número finito de soluciones en $ \mathbb C^{2}$ si y solo si $ f(x,y)$ y $ g(x,y)$ son coprimos.

a) Sea $ n_{1},n_{2},\dots$ una secuencia de números naturales tal que $ n_{i}\geq2$ y $ \epsilon_{1},\epsilon_{2},\dots$ sea una secuencia tal que $ \epsilon_{i}\in\{1,2\}$ . Demuestre que la secuencia: \[ \sqrt[n_{1}]{\epsilon_{1}+\sqrt[n_{2}]{\epsilon_{2}+\dots+\sqrt[n_{k}]{\epsilon_{k}}}}\] es convergente y su límite está en $ (1,2]$ . Defina $ \sqrt[n_{1}]{\epsilon_{1}+\sqrt[n_{2}]{\epsilon_{2}+\dots}}$ como este límite. b) Demuestre que para cada $ x\in(1,2]$ existen secuencias $ n_{1},n_{2},\dots\in\mathbb N$ y $ n_{i}\geq2$ y $ \epsilon_{1},\epsilon_{2},\dots$ , tales que $ n_{i}\geq2$ y $ \epsilon_{i}\in\{1,2\}$ , y $ x=\sqrt[n_{1}]{\epsilon_{1}+\sqrt[n_{2}]{\epsilon_{2}+\dots}}$

Encuentre el mayor real $ T$ tal que para cada número real no negativo $ a,b,c,d,e$ tal que $ a+b=c+d+e$ : \[ \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}\geq T(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+\sqrt d+\sqrt e)^{2}\]

$ a,b,c$ son tres números reales positivos diferentes. Demuestre que: \[ \left|\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}\right|>1\]

Sean $ a,b$ dos números complejos. Demuestre que las raíces de $ z^{4}+az^{2}+b$ forman un rombo con el origen como centro, si y solo si $ \frac{a^{2}}{b}$ es un número real no positivo.

El círculo $\Omega$ con centro $I_A$, es el $A$-excírculo del triángulo $ABC$. El cual es tangente a $AB,AC$ en $F,E$ respectivamente. El punto $D$ es la reflexión de $A$ a través de $I_AB$. Las líneas $DI_A$ y $EF$ se encuentran en $K$. Demuestra que el circuncentro de $DKE$, el punto medio de $BC$ y $I_A$ son colineales.

Demuestra que para cada dos enteros positivos $a,b$ mayores que $1$. existe infinitamente muchos $n$ tales que la ecuación $\phi(a^n-1)=b^m-b^t$ no puede cumplirse para ningún entero positivo $m,t$.

Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos a sí mismos, tales que lo siguiente se cumple. $1)$. para cada entero positivo $n$ tenemos $f(n)<f(n+1)<f(n)+2020$. $2)$. para cada entero positivo $n$ tenemos $S(f(n))=f(S(n))$ donde $S(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en representación base $10$.