Sea $N$ el conjunto de los enteros positivos. Si $A,B,C \ne \emptyset$ , $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \emptyset$ y $A \cup B \cup C = N$ , decimos que $A,B,C$ son particiones de $N$ . Demuestra que no existen particiones de $N, A,B,C$ , que satisfagan lo siguiente: \n(i) $\forall a \in A, b \in B$ , tenemos $a + b + 1 \in C$ \n(ii) $\forall b \in B, c \in C$ , tenemos $b + c + 1 \in A$ \n(iii) $\forall c \in C, a \in A$ , tenemos $c + a + 1 \in B$

Para todos los enteros positivos $n$ , demuestra que existen enteros $x, y$ relativamente primos a $5$ tales que $x^2 + y^2 = 5^n$ .

Sean $x,y\in\mathbb{R}$ tales que $x>2, y>3$ . Encuentra el valor minimo de $\frac{(x+y)^2}{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{y^2-9}}$

En un $\triangle XYZ$ , los puntos $A,B$ se encuentran en el segmento $ZX, C,D$ se encuentran en el segmento $XY , E, F$ se encuentran en el segmento $YZ$ . $A, B, C, D$ se encuentran en un circulo, y $\frac{AZ \cdot EY \cdot ZB \cdot Y F}{EZ \cdot CY \cdot ZF \cdot Y D}= 1$ . Sea $L = ZX \cap DE$ , $M = XY \cap AF$ , $N = Y Z \cap BC$ . Demuestra que $L,M,N$ son colineales.

$u(t)$ es solución del siguiente problema de valor inicial. $$\begin{cases} u''(t) + u'(t) = \sin u(t) &\;\;(t>0),\ u(0)=1,\;\; u'(0)=0 & \end{cases}$$ (1) Demuestra que $u(t)$ y $u'(t)$ están acotadas en $t>0$ . (2) Halla $\lim\limits_{t\to\infty} u(t)$ con demostración.

Demuestra que la siguiente desigualdad se cumple si $\{a_n\}$ es una secuencia decreciente de reales positivos, y $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ . $$\left|\sum_{n=1}^{2017} a_n \cos n\theta \right| \leq \frac{\pi a_1}{\theta}$$

Para un polinomio cúbico de coeficientes reales $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , denota las tres raíces de la ecuación $f(x)=0$ por $\alpha,\beta,\gamma$ . Demuestra que las tres raíces $\alpha,\beta,\gamma$ son números reales distintos si y solo si la matriz simétrica real $$\begin{pmatrix} 3 & p_1 & p_2 \ p_1 & p_2 & p_3 \ p_2 & p_3 & p_4 \end{pmatrix},\quad p_i = \alpha^i + \beta^i + \gamma^i$$ es definida positiva.

Dado un entero positivo $n$ y una matriz $A$ de $n\times n$ con valores reales . $J$ es una matriz de $n\times n$ con cada entrada igual a $1$ . Supongamos que $A$ satisface las siguientes relaciones. $$A+A^T = \frac{1}{n} J, \quad AJ = \frac{1}{2} J$$ Demuestra que $A^m-I$ es una matriz invertible para todo entero positivo impar $m$ .

Evalúa el siguiente límite. \[\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \int_0^\pi \sin^n x dx\]

Demuestra que cualquier polinomio de coeficientes reales $f(x,y)$ es una combinación lineal de polinomios de la forma $(x+ay)^k$ . ( $a$ es un número real y $k$ es un entero no negativo.)