En un trapecio $ABCD$ con $AD \parallel BC , O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ denotan los círculos con diámetros $AB, BC, CD, DA$ , respectivamente. Demostrar que existe un círculo con centro dentro del trapecio que es tangente a los cuatro círculos $O_{1},..., O_{4}$ si y sólo si $ABCD$ es un paralelogramo.

Sea $(a_{n})_{n=1}^{\infty}$ una secuencia de números reales positivos y sea $\alpha_{n}$ la media aritmética de $a_{1},..., a_{n}$ . Demostrar que para todos los enteros positivos $N$ , \[\sum_{n=1}^{N}\alpha_{n}^{2}\leq 4\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}. \]

Encontrar todos los números naturales que pueden ser expresados de una manera única como una suma de cinco o menos cuadrados perfectos.

$n$ hombres y una mujer están en la sala de reuniones con $n+1$ sillas, cada uno de ellos con su propio asiento. Demuestre que los siguientes dos números de casos son iguales. (1) Número de casos para elegir a un hombre para que salga de la sala, y hacer que los $n-1$ hombres restantes se sienten en la silla del otro. (2) Número de casos para hacer que $n+1$ personas se sienten en la silla del otro.

$ABC$ es un triángulo tal que $2\angle B < \angle A <90^{\circ}$, y $P$ es un punto en $AB$ que satisface $\angle A=2\angle APC$. Si $BC=a$, $AC=b$, $BP=1$, exprese $AP$ como una función de $a, b$.

$x, y, z$ son reales positivos cuyo producto no es menor que su suma. Pruebe la desigualdad: $\sqrt{2x^2+yz}+\sqrt{2y^2+zx}+\sqrt{2z^2+xy} \geq 9$

$a$ es un número natural de $2000$ dígitos de la forma $a=2(A)99…99(B)(C)$ expresado en base $10$. $a$ no es múltiplo de $10$, y $2(A)+(B)(C)=99$. $a=2899..9971$ es un posible ejemplo de $a$. $b$ es un número que se obtiene cuando se escriben los dígitos de $a$ en orden inverso (Escribir los dígitos de algún número en orden inverso significa como reordenar $1234$ en $4321$). Encuentre cada entero positivo $a$ que hace que $ab$ sea un número cuadrado.

Demuestre que para las variables reales $1 \leq a, b \leq 2$ se cumple la siguiente desigualdad: $2(a+b)^2 \leq 9ab $

El triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $O$. $P$ es el pie de la altura desde $A$ a $BC$, y $D$ es la intersección de $O$ y la línea $AP$. $M, N$ son los puntos medios de $AB, AC$ respectivamente. $MP$ y $CD$ se intersecan en $Q$, y $NP$ y $BD$ se intersecan en $R$. Demuestre que $AD, BQ, CR$ se encuentran en un punto si y solo si $AB=AC$.

A lo largo de siete días consecutivos, de domingo a sábado, llamemos MB a los días que pertenecen al mismo mes. Por ejemplo, si el último día de un mes es domingo, el último MB de ese mes consiste en el último día de ese mes. Si un año es desde el primero de enero hasta el 31 de diciembre, encuentre los valores máximo y mínimo de MB en un año.