Para un número natural arbitrario $a$, demuestre que $\gcd(a^3+1, a^7+1)=a+1$.

Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $6(n^4-1)$ es el cuadrado de un entero.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\overline{AB}=\overline{AC}$ . Sean $M, L, N$ los puntos medios de los segmentos $BC, AM, AC$ , respectivamente. El circuncírculo del triángulo $AMC$ , denotado por $\Omega$ , se encuentra con el segmento $AB$ en $P(\neq A)$ , y con el segmento $BL$ en $Q$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $BQC$ . Suponga que las líneas $AC$ y $PQ$ se encuentran en $X$ , $OB$ y $LN$ se encuentran en $Y$ , y $BQ$ y $CO$ se encuentran en $Z$ . Pruebe que los puntos $X, Y, Z$ son colineales.

¿Existen dos reales positivos $\alpha, \beta$ tales que cada entero positivo aparece exactamente una vez en la siguiente secuencia? \[ 2020, [\alpha], [\beta], 4040, [2\alpha], [2\beta], 6060, [3\alpha], [3\beta], \cdots \] Si es así, determine todos esos pares; si no, pruebe que es imposible.

Encuentre todas las $f: \mathbb{Q}_{+} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que \[ f(x)+f(y)+f(z)=1 \] se cumple para todos los racionales positivos $x, y, z$ que satisfacen $x+y+z+1=4xyz$ .

Hay $2020$ grupos, cada uno de los cuales consta de un niño y una niña, de tal manera que cada estudiante está contenido en exactamente un grupo. Suponga que los estudiantes se dieron la mano de manera que se cumplan las siguientes condiciones: los niños no se dieron la mano con los niños y las niñas no se dieron la mano con las niñas; en cada grupo, el niño y la niña se dieron la mano exactamente una vez; cualquier niño y niña, cada uno en diferentes grupos, no se dieron la mano más de una vez; para cada cuatro estudiantes en dos grupos diferentes, hay al menos tres apretones de manos. Pruebe que uno puede escoger $4038$ estudiantes y colocarlos en una mesa circular de manera que cada dos estudiantes adyacentes se hayan dado la mano.

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles tal que $AB \parallel CD$ y $\overline{AD}=\overline{BC}, \overline{AB}>\overline{CD}$ . Sea $E$ un punto tal que $\overline{EC}=\overline{AC}$ y $EC \perp BC$ , y $\angle ACE<90^{\circ}$ . Sea $\Gamma$ un círculo con centro $D$ y radio $DA$ , y $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $AEB$ . Suponga que $\Gamma$ se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $F(\neq A)$ , y sea $G$ un punto en $\Gamma$ tal que $\overline{BF}=\overline{BG}$ . Pruebe que las líneas $EG, BD$ se encuentran en $\Omega$ .

Sea $ p \equiv 3 \pmod{4}$ un primo. Defina $T = \{ (i,j) \mid i, j \in \{ 0, 1, \cdots , p-1 \} \} \setminus \{ (0,0) \} $ . Para un subconjunto arbitrario $ S ( \ne \emptyset ) \subset T $ , demuestre que existe un subconjunto $ A \subset S $ que satisface las siguientes condiciones:\n(a) $ (x_i , y_i ) \in A ( 1 \le i \le 3) $ entonces $ p \not | x_1 + x_2 - y_3 $ o $ p \not | y_1 + y_2 + x_3 $ .\n(b) $ 8 n(A) > n(S) $

Sea $ \{ a_1 , a_2 , \cdots, a_{10} \} = \{ 1, 2, \cdots , 10 \} $ . Encuentre el valor máximo de\n$ \sum_{n=1}^{10}(na_n ^2 - n^2 a_n ) $

Sea $ w $ el incírculo del triángulo $ ABC $ . Los segmentos $ BC, CA $ se encuentran con $ w $ en los puntos $ D, E$ . Una línea que pasa por $ B $ y es paralela a $ DE $ se encuentra con $ w $ en $ F $ y $ G $ . ( $ F $ está más cerca de $ B $ que $ G $ . ) La línea $ CG $ se encuentra con $ w $ en $ H ( \ne G ) $ . Una línea que pasa por $ G $ y es paralela a $ EH $ se encuentra con la línea $ AC $ en $ I $ . La línea $ IF $ se encuentra con el círculo $ w $ en $ J (\ne F ) $ . Las líneas $ CJ $ y $ EG $ se encuentran en $ K $ . Sea $ l $ la línea que pasa por $ K $ y es paralela a $ JD $ . Demuestre que $ l, IF, ED $ se encuentran en un punto.