Para todos los números reales positivos $a, b,c.$ Demuestra la siguiente desigualdad $$\frac{a}{c+5b}+\frac{b}{a+5c}+\frac{c}{b+5a}\geq\frac{1}{2}.$$

Sea $P$ un punto dentro de $\triangle ABC$ . Sean las bisectrices perpendiculares de $PA,PB,PC$ $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ . Sean $D =\ell_1 \cap \ell_2$ , $E=\ell_2 \cap \ell_3$ , $F=\ell_3 \cap \ell_1$ . Si $A,B,C,D,E,F$ están en una circunferencia, demuestra que $C, P,D$ son colineales.

Considera la cadena de longitud $6$ compuesta por tres caracteres $a, b, c$ . Para cada cadena, si dos $a$ s están uno al lado del otro, o dos $b$ s están uno al lado del otro, entonces reemplaza $aa$ por $b$ , y reemplaza $bb$ por $a$ . Además, si $a$ y $b$ están uno al lado del otro, o dos $c$ s están uno al lado del otro, elimina los dos (i.e. borra $ab, ba, cc$ ) . Determina el número de cadenas que pueden reducirse a $c$ , la cadena de longitud $1$ , mediante los procesos de reducción mencionados anteriormente.

Si $n$ es un entero positivo y $a, b$ son enteros positivos relativamente primos, calcula $(a + b,a^n + b^n)$ .

Una secuencia $a_1,a_2,...,a_{2007}$ donde $a_i \in\{2,3\}$ para $i = 1,2,...,2007$ y una secuencia de enteros $x_1,x_2,...,x_{2007}$ satisfacen lo siguiente: $a_ix_i + x_{i+2 }\equiv 0$ ( $mod 5$ ) , donde los indices se toman módulo $2007$ . Demuestra que $x_1,x_2,...,x_{2007}$ son todos múltiplos de $5$ .

Para un entero positivo $n\geq 3$ y números reales $a_1,...,a_n,b_1,...,b_n$ , demuestra lo siguiente. $$\sum_{i=1}^n a_i(b_i-b_{i+3})\leq\frac{3n}{8}\sum_{i=1}^n((a_i-a_{i+1})^2+(b_i-b_{i+1})^2)$$ ( $a_{n+1}=a_1$ , y para $i=1,2,3$ $b_{n+i}=b_i$ . )

Dado un entero positivo $n$ , hay $n$ cajas $B_1,...,B_n$ . El siguiente procedimiento se puede utilizar para agregar bolas. $$\text{(Procedimiento) Se eligen dos enteros positivos }n\geq i\geq j\geq 1\text{, agregamos una bola a cada una de las cajas }B_k\text{ tal que }i\geq k\geq j.$$ Para enteros positivos $x_1,...,x_n$ sea $f(x_1,...,x_n)$ la cantidad mínima de procedimientos para que todas las cajas tengan una cantidad de bolas que sea un múltiplo de 3, comenzando con $x_i$ bolas para $B_i(i=1,...,n)$ . Encuentra el valor más grande posible de $f(x_1,...,x_n)$ . (Si $x_1,...,x_n$ son todos múltiplos de 3, $f(x_1,...,x_n)=0$ . )

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen lo siguiente. $$2^n-1 \text{ no tiene un factor primo mayor que } 7$$

Sea $p$ un número primo impar. Sea $A(n)$ el número de subconjuntos de ${1,2,...,n}$ tal que la suma de los elementos del subconjunto es un múltiplo de $p$ . Demuestra que si $2^{p-1}-1$ no es un múltiplo de $p^2$ , existe un número infinito de enteros positivos $m$ para cualquier entero $k$ que satisfaga lo siguiente. (La suma de los elementos del conjunto vacío es 0.) $$\frac{A(m)-k}{p}\in\mathbb{Z}$$

La función $f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ satisface la siguiente condición. (Condición) Para cada número real positivo $x$ , existe un número real positivo $y$ tal que $(x + f(y))(y + f(x)) \leq 4$ , y el número de $y$ es finito. Demuestra que $f(x) > f(y)$ para cualquier número real positivo $x < y$ . ($\mathbb{R^+}$ es un conjunto para todos los números reales positivos.)