Hallar todos los enteros positivos $l, m, n$ primos relativos por pares tales que \[(l+m+n)\left( \frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\] es un entero.

Para un entero positivo \( n \) , sea \( \tau(n) \) denota el número de divisores positivos de \( n \) . Determinar todos los enteros positivos \( K \) tales que la ecuación \[ \tau(x) = \tau(y) = \tau(z) = \tau(2x + 3y + 3z) = K \] se cumple para algunos enteros positivos $x,y,z$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle A, \angle B, \angle C$ son agudos. $AB$ y $CD$ se encuentran en $E$ y $BC,DA$ se encuentran en $F$ . Sean $K,L,M,N$ los puntos medios de $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. $KM$ se encuentra con $BC,DA$ en $X$ e $Y$ , y $LN$ se encuentra con $AB,CD$ en $Z$ y $W$ . Demostrar que la línea que pasa por $E$ y el punto medio de $ZW$ es paralela a la línea que pasa por $F$ y el punto medio de $XY$ .

¿Existe una secuencia real $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $$a_na_{n+1}\ge a_{n+2}^2 +1$$ para todo $n\ge 1$ ?

Llame a un conjunto $\{a,b,c,d\}$ épico si para cualquier cuatro enteros positivos diferentes \(a, b, c, d\) , hay una forma única de seleccionar tres de ellos para formar los lados de un triángulo. Encontrar todos los enteros positivos \(n\) tales que $\{1, 2, \ldots, 4n\}$ puede ser particionado en \(n\) conjuntos épicos disjuntos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero sin lados paralelos. Las diagonales se intersecan en $E$ , y $P, Q$ son puntos en los lados $AB, CD$ respectivamente tales que $\frac{AP}{PB} = \frac{CQ}{QD}$ . $PQ$ se encuentra con $AC$ y $BD$ en $R,S$ . Demostrar que $(EAB),(ECD),(ERS)$ se encuentran en un punto diferente de $E$ .

Encontrar todos los pares de enteros positivos $n$ tales que se pueda particionar un tablero de $n\times (n+1)$ con dominós de $1\times 2$ o $2\times 1$ y dibujar una de las diagonales en cada uno de los dominós tal que ninguna de las diagonales compartan puntos finales.

Encontrar todas las secuencias enteras $a_1 , a_2 , \ldots , a_{2024}$ tales que $1\le a_i \le 2024$ para $1\le i\le 2024$ y $$i+j|ia_i-ja_j$$ para cada par $1\le i,j \le 2024$ .

Encontrar todas las $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que la ecuación $$f(x^2+yf(x))=(1-x)f(y-x)$$ se cumple para todo $x,y\in\mathbb{R}$ .

Para un entero positivo \( n \) , sea \( \tau(n) \) denota el número de divisores positivos de \( n \) . Determinar si existe una terna de enteros positivos \( a, b, c \) tal que haya exactamente $1012$ enteros positivos \( K \) no mayores que $2024$ que satisfaga lo siguiente: la ecuación \[ \tau(x) = \tau(y) = \tau(z) = \tau(ax + by + cz) = K \] se cumple para algunos enteros positivos $x,y,z$ .