$2024$ personas asistieron a una fiesta. Eunson, el anfitrión de la fiesta, quería hacer que los participantes se dieran la mano en parejas. Como un soñador profesional, Eunsun se preguntó qué sería mayor: la cantidad de formas en que cada persona podría dar la mano a otras $4$ o la cantidad de formas en que cada persona podría dar la mano a otras $3$. Resolver la peculiar pregunta de Eunsun.

Encontrar todos los valores posibles de $C\in \mathbb R$ tal que existe una secuencia real $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $$a_na_{n+1}^2\ge a_{n+2}^4 +C$$ para todo $n\ge 1$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle A, \angle B, \angle C$ son agudos. $AB$ y $CD$ se encuentran en $E$ y $BC,DA$ se encuentran en $F$ . Sean $K,L,M,N$ los puntos medios de $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. $KM$ se encuentra con $BC,DA$ en $X$ e $Y$ , y $LN$ se encuentra con $AB,CD$ en $Z$ y $W$ . Demostrar que la línea que pasa por $E$ y el punto medio de $ZW$ es paralela a la línea que pasa por $F$ y el punto medio de $XY$ .

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tal que se pueda particionar un tablero de $m\times n$ con dominós de $1\times 2$ o $2\times 1$ y dibujar una de las diagonales en cada uno de los dominós tal que ninguna de las diagonales compartan puntos finales.

Define la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ como \[ a_1 = a_2 = 1,\quad a_{n+2} = 14a_{n+1} - a_n \; (n \geq 1) \] Demostrar que si $p$ es primo y existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{a_n}p$ es un entero, entonces $\frac{p-1}{12}$ también es un entero.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero sin lados paralelos. Las diagonales se intersecan en $E$ , y $P, Q$ son puntos en los lados $AB, CD$ respectivamente tales que $\frac{AP}{PB} = \frac{CQ}{QD}$ . $PQ$ se encuentra con $AC$ y $BD$ en $R,S$ . Demostrar que $(EAB),(ECD),(ERS)$ se encuentran en un punto diferente de $E$ .

Encontrar todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tal que $P(P(x))-x$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[x]$ .

Dibujando todas las diagonales en un $2013$ - gono regular, el $2013$ - gono regular se divide en polígonos no superpuestos. Pruebe que existe exactamente un $2013$ - gono de todos estos polígonos.

Sea $f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ tal que para todo entero positivo $n$ , se cumplen los siguientes. i. $f(n+1) > f(n)$ ii. $f(f(n)) = 2n+2$ Encuentre el valor de $f(2013)$ . (Aquí, $\mathbb{N}$ es el conjunto de todos los enteros positivos.)

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ que satisfacen \[ f(mn) = \operatorname{lcm} (m,n) \cdot \gcd( f(m), f(n) ) \] para todo entero positivo $m,n$ .