En un triángulo acutángulo $\triangle ABC, \angle A > \angle B$ . Sea el punto medio de $AB$ como $D$ , y sea el pie de la perpendicular de $A$ a $BC$ como $E$ , y $B$ desde $CA$ como $F$ . Sea el circuncentro de $\triangle DEF$ como $O$ . Un punto $J$ en el segmento $BE$ satisface $\angle ODC = \angle EAJ$ . Pruebe que $AJ \cap DC$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $\triangle BDE$ .

Pruebe que existe un número primo $p$ tal que el entero positivo mínimo $n$ tal que $p|2^n -1$ es $3^{2013}$ .

$\lbrace a_n \rbrace$ es una secuencia de enteros positivos tal que $a_{i+2} = a_{i+1} +a_i$ (para todo $i \ge 1$ ) . Para un entero positivo $n$ , defina como $$b_n=\frac{1}{a_{2n+1}}\Sigma_{i=1}^{4n-2}a_i$$ Pruebe que $b_n$ es un entero positivo.

Un pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo $O$ , y satisface $AB = BC , AE = DE$ . El círculo que es tangente a $DE$ en $E$ y pasando $A$ golpea $EC$ en $F$ y $BF$ en $G (\ne F)$ . Sea $DG\cap O = H (\ne D)$ . Pruebe que la tangente a $O$ en $E$ es perpendicular a $HA$ .

Comparar la magnitud de los siguientes tres números. $$ \sqrt[3]{\frac{25}{3}} ,\, \sqrt[3]{\frac{1148}{135}} ,\, \frac{\sqrt[3]{25}}{3} + \sqrt[3]{\frac{6}{5}} $$

Sea $\omega$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Para cualquier número real positivo $\lambda$ , sea $\omega_{\lambda}$ el círculo concéntrico con $\omega$ que tiene un radio $\lambda$ veces el de $\omega$ . Sea $X$ la intersección entre una trisección de $\angle B$ más cerca de $BC$ y una trisección de $\angle C$ más cerca de $BC$ . Define de manera similar $Y$ y $Z$ . Sea $\epsilon = \frac{1}{2024}$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ se encuentra dentro de $\omega_{1-\epsilon}$ . Nota. Se pueden otorgar puntos a resultados más débiles con $\epsilon$ más pequeño dependiendo del valor de la constante $\epsilon <\frac{1}{2024}$ .

Encuentra todas las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que satisfacen las siguientes condiciones: $f$ no es una función constante y si $x \le y$ entonces $f(x)\le f(y)$ Para todo número real $x$ , $f(g(x))=g(f(x))=0$ Para todos los números reales $x$ e $y$ , $f(x)+f(y)+g(x)+g(y)=f(x+y)+g(x+y)$ Para todos los números reales $x$ e $y$ , $f(x)+f(y)+f(g(x)+g(y))=f(x+y)$

Para un entero positivo dado $n$ , hay un total de $5n$ bolas etiquetadas con los números $1$ , $2$ , $3$ , $\cdots$ , $n$ , con 5 bolas para cada número. Las bolas se colocan en $n$ cajas, con $5$ bolas en cada caja. Demuestra que puedes colorear dos bolas de rojo y una bola de azul en cada caja de modo que la suma de los números en las bolas rojas sea el doble de la suma de los números en las bolas azules.

Para cada entero positivo $n>1$ , si $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ ( $p_i$ son números primos distintos por parejas y $\alpha_i$ son enteros positivos), define $f(n)$ como $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k$ . Para $n=1$ , sea $f(1)=0$ . Encuentra todos los pares de polinomios enteros $P(x)$ y $Q(x)$ tales que para cualquier entero positivo $m$ , $f(P(m))=Q(f(m))$ se cumple.

Demuestra que hay infinitos enteros impares positivos $n$ tales que $n^5+2n+1$ es expresable como una suma de cuadrados de dos enteros coprimos.