Para un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros y grado no menor que $1$, demostrar que hay infinitos primos $p$ que satisfacen lo siguiente. Existe un entero $n$ tal que $f(n) \not= 0$ y $|f(n)|$ es un múltiplo de $p$.

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que (i): Para diferentes reales $x,y$, $f(x) \not= f(y)$. (ii): Para todos los reales $x,y$, $f(x+f(f(-y)))=f(x)+f(f(y))$

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, y sea la circunferencia inscrita $\Gamma$. Sea la circunferencia circunscrita a $\triangle IBC$ que corta a $\Gamma$ en $D, E$, donde $D$ está más cerca de $B$ y $E$ está más cerca de $C$. Sea $\Gamma \cap BE = K (\not= E)$, $CD \cap BI = T$, y $CD \cap \Gamma = L (\not= D)$. Sea la línea que pasa por $T$ y es perpendicular a $BI$ que corta a $\Gamma$ en $P$, donde $P$ está dentro de $\triangle IBC$. Demostrar que la tangente a $\Gamma$ en $P$, $KL$, $BI$ son concurrentes.

Los reales $a,b,c,x,y$ satisfacen $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2=1$. Encontrar el valor máximo de $$(ax+by)^2+(bx+cy)^2$$

Para todo entero no negativo $i$, hay siete tarjetas con $2^i$ escrito en ellas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar las tarjetas para que los números sumen $n$?

Para un entero positivo $m$, demostrar que el número de pares de enteros positivos $(x,y)$ que satisfacen las siguientes dos condiciones es par o $0$. (i): $x^2-3y^2+2=16m$ (ii): $2y \le x-1$

En un triángulo acutángulo escaleno $\triangle ABC$, sea $O$ el circuncentro. Sea $M$ el punto medio de $AC$. Sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$. Sea la circunferencia circunscrita a $\triangle OAM$ que corta a $DM$ en $P(\not= M)$. Demostrar que $B, O, P$ son colineales.

Sea $U$ un conjunto de $m$ triángulos. Demuestre que existe un subconjunto $W$ de $U$ que satisface lo siguiente. (i). El número de triángulos en $W$ es al menos $0.45m^{\frac{4}{5}}$ (ii) No hay puntos $A, B, C, D, E, F$ tales que los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDE$ , $DEF$ , $EFA$ , $FAB$ estén todos en $W$.

Un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ tiene incentro $I$, y el incírculo golpea $BC, CA, AB$ en $D, E, F$. Las líneas $BI, CI, BC, DI$ golpea $EF$ en $K, L, M, Q$ y la línea que conecta el punto medio del segmento $CL$ y $M$ golpea el segmento de línea $CK$ en $P$. Demuestre que $$PQ=\frac{AB \cdot KQ}{BI}$$

Si $x,y,z$ satisfacen $x^2+y^2+z^2=1$, encuentre el valor máximo posible de $$(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$$