Demuestre que para todos los racionales $x,y$, $x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=4$ no es cierto.

Dos enteros $n, k$ satisfacen $n \ge 2$ y $k \ge \frac{5}{2}n-1$. Demuestre que cualesquiera $k$ puntos de la red con coordenada $x$ e $y$ no menores que $1$ y no mayores que $n$ que escojamos, debe haber un círculo que pase por al menos cuatro de estos puntos.

En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, denote $D, E$ como el pie de la perpendicular desde $B$ a $AC$ y $C$ a $AB$. Denote el reflejo de $E$ con respecto a $AC, BC$ como $S, T$. El circuncírculo de $\triangle CST$ golpea a $AC$ en el punto $X (\not= C)$. Denote el circuncentro de $\triangle CST$ como $O$. Demuestre que $XO \perp DE$.

Se dan cuatro enteros positivos impares $a, b, c, d (a\leq b \leq c\leq d)$ . Elija tres números cualesquiera entre ellos y divida su suma por el número no elegido, y siempre obtendrá el resto como $1$ . Encuentra todos los $(a, b, c, d)$ que satisfacen esto.

Cuando se dan $11$ enteros cualesquiera, probar que siempre se pueden elegir $6$ enteros entre ellos de manera que la suma de los números elegidos sea múltiplo de $6$ . Los $11$ enteros no son necesariamente diferentes.

Considera un triángulo $ABC$ , inscrito en $O$ y $\angle A < \angle B$ . Algún punto $P$ fuera del círculo satisface $$\angle A=\angle PBA =180^{\circ}- \angle PCB$$ Sea $D$ la intersección de la línea $PB$ y $O$ (diferente de $B$ ) , y $Q$ la intersección de la línea tangente de $O$ que pasa por $A$ y la línea $CD$ . Demostrar que $CQ : AB=AQ^2:AD^2$ .

$a, b$ son números impares que satisfacen $(a-b)^2 \le 8\sqrt {ab}$ . Para $n=ab$ , demostrar que la ecuación $$x^2-2([\sqrt n]+1)x+n=0$$ tiene dos soluciones integrales. $[r]$ denota el mayor entero, no estrictamente mayor que $r$ .

Demostrar que para cualquier entero no negativo $n$ , el número $2^{2n+1}$ no se puede expresar como la suma de cuatro números cuadrados no nulos.

Encuentra todas las funciones $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$f(x^2-g(y))=g(x)^2-y$$ para todo $x,y \in \mathbb{R}$

El incentro y el $A$ - excentro de $\triangle{ABC}$ son $I$ y $O$. El pie desde $A,I$ a $BC$ es $D$ y $E$. La intersección de $AD$ y $EO$ es $X$. El circuncentro de $\triangle{BXC}$ es $P$. Demuestra que el circuncírculo de $\triangle{BPC}$ es tangente al $A$ - excírculo si $X$ está en el incírculo de $\triangle{ABC}$.