Hay un cuadrilátero convexo $ ABCD $ que satisface $ \angle A=\angle D $ . Sean los puntos medios de $ AB, AD, CD $ ser $ L,M,N $ . Digamos que el punto de intersección de $ AC, BD $ es $ E $ . Digamos que el punto $ F $ que se encuentra en $ \overrightarrow{ME} $ satisface $ \overline{ME}\times \overline{MF}=\overline{MA}^{2} $ . Demuestra que $ \angle LFM=\angle MFN $ .

Hay una ciudad con $n$ estaciones de metro, cada una ubicada en un vértice de un n-polígono regular. La Línea 1 de metro es una línea que solo conecta dos estaciones no vecinas $A$ y $B$ . La Línea 2 de metro es una línea cíclica que pasa por todas las estaciones en forma de n-polígono regular. Para cada línea, el metro puede funcionar en cualquier dirección, y $A$ y $B$ son las estaciones en las que uno puede transferirse a otra línea. La línea entre dos estaciones vecinas se llama 'intervalo de metro'. Para cada estación hay un jefe de estación, y hay al menos un jefe de estación femenino y un jefe de estación masculino. Si $n$ es impar, demuestre que para cualquier entero $k$ $(0<k<n)$ hay un camino que comienza desde una estación con un jefe de estación masculino y termina en una estación con un jefe de estación femenino, pasando por $k$ intervalos de metro.

$AB$ es una cuerda de $O$ y $AB$ no es un diámetro de $O$ . Las líneas tangentes a $O$ en $A$ y $B$ se encuentran en $C$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $AC$ y $BC$ , respectivamente. Un círculo que pasa por $C$ y es tangente a $O$ se encuentra con la línea $MN$ en $P$ y $Q$ . Demuestra que $\angle PCQ = \angle CAB$.

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen lo siguiente. $f(xf(x)+f(x)f(y)+y-1)=f(xf(x)+xy)+y-1$

Para $x, y$ enteros positivos, $x^2-4y+1$ es un múltiplo de $(x-2y)(1-2y)$ . Demuestra que $|x-2y|$ es un número cuadrado.

Un punto móvil en el plano de coordenadas puede moverse hacia la derecha o hacia arriba una posición. $N$ es el número de todos los caminos: caminos que el punto móvil comienza desde $(0, 0)$, sin pasar por $(1, 0), (2, 1), . . . , (n, n-1)$ y se mueve $2n$ veces hasta $(n, n)$. $a_k$ es el número de caminos especiales: caminos incluidos en $N$, pero el $k$ -ésimo se mueve hacia la derecha, el $k+1$ -ésimo se mueve hacia arriba. Encuentra $$\frac{1}{N} (a_1+a_2+ . . . + a_{2n-1})$$

Sean $a_1, a_2, . . . , a_9$ enteros positivos que satisfacen $a_1+a_2+ . . . +a_9 =90$, encuentra el máximo de $$\frac{1^{a_1} \cdot 2^{a_2} \cdot . . . \cdot 9^{a_9}}{a_1! \cdot a_2! \cdot . . . \cdot a_9!}$$

El círculo $O_1$ es tangente a $AC$, $BC$ (lado del triángulo $ABC$) en el punto $D, E$. El círculo $O_2$ incluye $O_1$, es tangente a $BC$, $AB$ (lado del triángulo $ABC$) en el punto $E, F$. La tangente de $O_2$ en $P(DE \cap O_2, P \neq E)$ se encuentra con $AB$ en $Q$. Una línea que pasa por $O_1$ (centro de $O_1$) y paralela a $BO_2$ ($O_2$ también es el centro de $O_2$) se encuentra con $BC$ en $G$, $EQ \cap AC=K, KG \cap EF=L$, $EO_2$ se encuentra con el círculo $O_2$ en $N(\neq E)$, $LO_2 \cap FN=M$. Si $N$ es el punto medio de $FM$, demuestra que $BG=2EG$

$n \in \mathbb {N^+}$ Demuestra que la siguiente ecuación se puede expresar como un polinomio sobre $n$. $$\left[2\sqrt {1}\right]+\left[2\sqrt {2}\right]+\left[2\sqrt {3}\right]+ . . . +\left[2\sqrt {n^2}\right]$$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen $$\frac{n(n+2016)(n+2\cdot 2016)(n+3\cdot 2016) . . . (n+2015\cdot 2016)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot . . . . . \cdot 2016}$$ es un entero positivo.