En $\triangle ABC$ , $\angle A=60^\circ$ . $\odot I$ es el incírculo de $\triangle ABC$ . $\odot I$ es tangente a los lados $AB$ , $AC$ en $D$ , $E$ , respectivamente. La línea $DE$ intersecta a la línea $BI$ y $CI$ en $F$ , $G$ respectivamente. Demuestre que $FG=\frac{BC}{2}$ .

Dado cualquier entero positivo $n$ , sea $a_n$ la raíz real de la ecuación $x^3+\dfrac{x}{n}=1$ . Demuestre que (1) $a_{n+1}>a_n$ ; (2) $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(i+1)^2a_i} <a_n$ .

Hay una baraja estándar de $52$ cartas sin comodines. La baraja consta de cuatro palos (diamantes, tréboles, corazones, espadas) que incluyen trece cartas en cada uno. Para cada palo, las trece cartas están clasificadas desde ' $2$ ' hasta ' $A$ ' (es decir, $2, 3,\ldots , Q, K, A$ ) . Un par de cartas se llama ' color ' si estas dos cartas pertenecen al mismo palo y sus rangos son adyacentes. Además, ' $A$ ' y ' $2$ ' se consideran adyacentes (es decir, 'A' también se considera como ' $1$ ' ). Por ejemplo, espadas $A$ y espadas $2$ forman un ' color '; diamantes $10$ y diamantes $Q$ no son un par de ' color '. Determine cuántas formas hay de elegir trece cartas de la baraja de tal manera que todos los rangos estén incluidos pero no exista ' color ' en ellas.

En $\triangle ABC$ , $\angle ABC=90^{\circ}$ . Los puntos $D,G$ se encuentran en el lado $AC$ . Los puntos $E, F$ se encuentran en el segmento $BD$ , tal que $AE \perp BD $ y $GF \perp BD$ . Demuestre que si $BE=EF$ , entonces $\angle ABG=\angle DFC$ .

Suponga que $a>b>0$ , $f(x)=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}$ . Demuestre que existe un único número positivo $x$ , tal que $f(x)=\left(\dfrac{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}{2} \right)^3$ .

Sea $F = \max_{1 \leq x \leq 3} |x^3 - ax^2 - bx - c|$ . Cuando $a$ , $b$ , $c$ recorren todos los números reales, encuentra el menor valor posible de $F$ .

En el $\bigtriangleup ABC$ equilátero , $D$ es un punto en el lado $BC$ . $O_1$ y $I_1$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ABD$ respectivamente, y $O_2$ y $I_2$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ADC$ respectivamente. $O_1I_1$ intersecta a $O_2I_2$ en $P$ . Encuentra el lugar geométrico del punto $P$ mientras $D$ se mueve a lo largo de $BC$ .

Para un número natural dado $n > 3$ , los números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2}$ satisfacen las condiciones $0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < x_{n + 1} < x_{n + 2}$ . Encuentra el valor mínimo posible de \n\[\frac{(\sum _{i=1}^n \frac{x_{i + 1}}{x_i})(\sum _{j=1}^n \frac{x_{j + 2}}{x_{j + 1}})}{(\sum _{k=1}^n \frac{x_{k + 1} x_{k + 2}}{x_{k + 1}^2 + x_k x_{k + 2}})(\sum _{l=1}^n \frac{x_{l + 1}^2 + x_l x_{l + 2}}{x_l x_{l + 1}})}\] y encuentra todas las $(n + 2)$ - tuplas de números reales $(x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2})$ que dan este valor.

Para un número natural dado $k > 1$ , encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x, y \in \mathbb{R}$ , $f[x^k + f(y)] = y +[f(x)]^k$ .

$a$ y $b$ son números naturales tales que $b > a > 1$ , y $a$ no divide a $b$ . La sucesión de números naturales $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ satisface $b_{n + 1} \geq 2b_n \forall n \in \mathbb{N}$ . ¿Existe una sucesión $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ de números naturales tal que para todo $n \in \mathbb{N}$ , $a_{n + 1} - a_n \in \{a, b\}$ , y para todo $m, l \in \mathbb{N}$ ( $m$ puede ser igual a $l$ ) , $a_m + a_l \not\in \{b_n\}_{n=1}^\infty$ ?