En el plano, el punto $ O$ es el centro del triángulo equilátero $ABC$, los puntos $P,Q$ tales que $\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{PO}$. Demostrar que $|PA|+|PB|+|PC|\le |QA|+|QB|+|QC|$.

Sea $n\ge 2$ un entero dado, $x_1,x_2,\ldots,x_n $ números reales tales que $(1) x_1+x_2+\ldots+x_n=0 $ , $(2) |x_i|\le 1$ $(i=1,2,\cdots,n)$ . Hallar el máximo de Min $\{|x_1-x_2|,|x_2-x_3|,\cdots,|x_{n-1}-x_n|\}$.

Dado un entero positivo $m$, Demostrar que existe un entero positivo $n_0$ tal que todos los primeros dígitos después de los puntos decimales de $\sqrt{n^2+817n+m}$ en la representación decimal son iguales, para todos los enteros $n>n_0$.

Dado un entero positivo $n$, sea $a_1,a_2,..,a_n$ una secuencia de enteros no negativos. Una secuencia de uno o más términos consecutivos de $a_1,a_2,..,a_n$ se llama $dragón$ si su media aritmética es mayor que 1. Si una secuencia es un $dragón$, entonces su primer término es la $cabeza$ y el último término es la $cola$. Suponga que $a_1,a_2,..,a_n$ es la $cabeza$ o/y $cola$ de alguna secuencia $dragón$; determine el valor mínimo de $a_1+a_2+\cdots +a_n$ en términos de $n$.

Sea $A_1,A_2,...$ una secuencia de conjuntos tal que para cualquier entero positivo $i$, hay solo un número finito de valores de $j$ tales que $A_j\subseteq A_i$. Demostrar que existe una secuencia de enteros positivos $a_1,a_2,...$ tal que para cualquier par $(i,j)$ se cumple $a_i\mid a_j\iff A_i\subseteq A_j$.

Sea $AB$ el diámetro de la semicircunferencia $O$, $C, D$ puntos en el arco $AB$, $P, Q$ los circuncentros de $\triangle OAC$ y $\triangle OBD$ respectivamente. Demostrar que: $CP\cdot CQ=DP \cdot DQ$.

Sean $x,y$ números reales positivos. Hallar el mínimo de $x+y+\frac{|x-1|}{y}+\frac{|y-1|}{x}$.

Dado un círculo con su perímetro igual a $n$ ( $n \in N^*$ ) , el entero positivo más pequeño $P_n$ que satisface la siguiente condición se llama el ' número del círculo particionado ': hay $P_n$ puntos ( $A_1,A_2, \ldots ,A_{P_n}$ ) en el círculo; Para cualquier entero $m$ ( $1\le m\le n-1$ ) , siempre existen dos puntos $A_i,A_j$ ( $1\le i,j\le P_n$ ) , tal que la longitud del arco $A_iA_j$ es igual a $m$ . Además, todos los arcos entre cada dos puntos adyacentes $A_i,A_{i+1}$ ( $1\le i\le P_n$ , $A_{p_n+1}=A_1$ ) forman una secuencia $T_n=(a_1,a_2,,,a_{p_n})$ llamada la ' secuencia del círculo particionado '. Por ejemplo, cuando $n=13$ , el número del círculo particionado $P_{13}$ = 4, la secuencia del círculo particionado $T_{13}=(1,3,2,7)$ o $(1,2,6,4)$ . Determine los valores de $P_{21}$ y $P_{31}$ , y encuentre una posible solución de $T_{21}$ y $T_{31}$ respectivamente.

(1) Encuentre el número de soluciones enteras positivas $(m,n,r)$ de la ecuación indeterminada $mn+nr+mr=2(m+n+r)$ . (2) Dado un entero $k (k>1)$ , demuestre que la ecuación indeterminada $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ tiene al menos $3k+1$ soluciones enteras positivas $(m,n,r)$ .

Encuentre el valor mínimo del número real $m$ , tal que la desigualdad \[m(a^3+b^3+c^3) \ge 6(a^2+b^2+c^2)+1\] se cumple para todos los números reales positivos $a,b,c$ donde $a+b+c=1$ .