Se da una tabla de $(3n + 1) \times (3n + 1)$ $(n \in \mathbb{N})$. Demostrar que al eliminar cualquiera de sus cuadrados se obtiene una forma que se puede cortar en piezas de la siguiente forma y sus rotaciones: forma ''L' formada al cortar un cuadrado de cuadrados de $2 \times 2$.

Un triángulo $ABC$ está dado en el plano con $AB = \sqrt{7},$ $BC = \sqrt{13}$ y $CA = \sqrt{19},$ se dibujan círculos con centros en $A,B$ y $C$ y radios $\frac{1}{3},$ $\frac{2}{3}$ y $1,$ respectivamente. Demostrar que existen puntos $A',B',C'$ en estos tres círculos respectivamente tales que el triángulo $ABC$ es congruente al triángulo $A'B'C'.$

Para cualquier primo $p$ , probar que existe un entero $x_0$ tal que $p | (x^2_0 - x_0 + 3)$ $\Leftrightarrow$ existe un entero $y_0$ tal que $p | (y^2_0 - y_0 + 25).$

Sea $n \geq 2, n \in \mathbb{N},$ hallar el menor número real positivo $\lambda$ tal que para arbitrarios $a_i \in \mathbb{R}$ con $i = 1, 2, \ldots, n$ y $b_i \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ con $i = 1, 2, \ldots, n$ , lo siguiente se cumple: \[\sum^n_{i=1} a_i = \sum^n_{i=1} b_i = 1 \Rightarrow \prod^n_{i=1} a_i \leq \lambda \sum^n_{i=1} a_i b_i.\]

16 estudiantes participaron en una competencia. Todos los problemas eran de opción múltiple. Cada problema tenía cuatro opciones. Se dice que dos estudiantes cualesquiera tienen como máximo una respuesta en común, hallar el número máximo de problemas.

Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2014}$ enteros entre los cuales no hay dos congruentes módulo $2014$. Sean $y_1,y_2,\dots,y_{2014}$ enteros entre los cuales no hay dos congruentes módulo $2014$. Demuestra que uno puede reordenar $y_1,y_2,\dots,y_{2014}$ a $z_1,z_2,\dots,z_{2014}$, de modo que entre \[x_1+z_1,x_2+z_2,\dots,x_{2014}+z_{2014}\] no haya dos congruentes módulo $4028$.

Sea $S=\{1,2,3,\cdots,100\}$. Encuentra el valor máximo del entero $k$, tal que existen $k$ subconjuntos no vacíos diferentes de $S$ que satisfacen la condición: para cualesquiera dos de los $k$ subconjuntos, si su intersección no está vacía, entonces el elemento mínimo de su intersección no es igual al elemento máximo de ninguno de los dos subconjuntos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle BAC \neq 60^\circ$. Sean $D,E$ puntos tales que $BD,CE$ son tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $BD=CE=BC$ ($A$ está en un lado de la línea $BC$ y $D,E$ están en el otro lado). Sean $F,G$ las intersecciones de la línea $DE$ y las líneas $AB,AC$. Sea $M$ la intersección de $CF$ y $BD$, y sea $N$ la intersección de $CE$ y $BG$. Demuestra que $AM=AN$.

Sean $a,b,c$ números reales tales que $a+b+c=1$ y $abc>0$. Demuestra que \[bc+ca+ab<\frac{\sqrt{abc}}{2}+\frac{1}{4}.\]

Dado un número real $q$ , $1 < q < 2$ define una secuencia $ \{x_n\}$ como sigue: para cualquier entero positivo $n$, sea $x_n=a_0+a_1 \cdot 2+ a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_k \cdot 2^k \qquad (a_i \in \{0,1\}, i = 0,1, \cdots m k)$ su representación binaria, define $x_k= a_0 +a_1 \cdot q + a_2 \cdot q^2 + \cdots +a_k \cdot q^k$. Demostrar que para cualquier entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $x_n < x_m \leq x_n+1$.