Sea el polinomio de coeficientes reales $f(x) = x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \ldots + a_n$ que tiene raíces reales $b_1, b_2, \ldots, b_n$ , $n \geq 2,$ demuestre que $\forall x \geq max\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ , tenemos \[f(x+1) \geq \frac{2 \cdot n^2}{\frac{1}{x-b_1} + \frac{1}{x-b_2} + \ldots + \frac{1}{x-b_n}}.\]

Encuentra todos los enteros positivos $a$ tales que para cualquier entero positivo $n\ge 5$ tenemos $2^n-n^2\mid a^n-n^a$ .

Etiqueta los lados de un $n$ - gono regular en dirección a las agujas del reloj en orden 1,2,..,n. Determina todos los enteros n ( $n\geq 4$ ) que satisfacen las siguientes condiciones: (1) $n-3$ diagonales no intersecantes en el $n$ - gono son seleccionadas, que subdividen el $n$ - gono en $n-2$ triángulos no superpuestos; (2) cada una de las $n-3$ diagonales elegidas están etiquetadas con un entero, tal que la suma de los números etiquetados en tres lados de cada triángulo en (1) es igual a los otros;

Sean $PA, PB$ tangentes a un círculo centrado en $O$ , y $C$ un punto en el arco menor $AB$ . La perpendicular de $C$ a $PC$ intersecta las bisectrices internas de $AOC,BOC$ en $D,E$ . Demuestra que $CD=CE$

Un conjunto no vacío $A$ se llama un conjunto $n$ - nivel-bueno si $ A \subseteq \{1,2,3,\ldots,n\}$ y $|A| \le \min_{x\in A} x$ (donde $|A|$ denota el número de elementos en $A$ y $\min_{x\in A} x$ denota el mínimo de los elementos en $A$ ) . Sea $a_n$ el número de conjuntos $n$ - nivel-bueno. Demuestra que para todos los enteros positivos $n$ tenemos $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+1$ .

Hay $n$ monedas en una fila, $n\geq 2$ . Si una de las monedas es cara, selecciona un número impar de monedas consecutivas (o incluso 1 moneda) con la que está en cara a la izquierda, y luego voltea todas las monedas seleccionadas simultáneamente. Esto es un $movimiento$ . No se permite ningún movimiento si todas las $n$ monedas son colas. Suponga que $m-1$ monedas son caras en la etapa inicial, determine si hay una manera de llevar a cabo $ \lfloor\frac {2^m}{3}\rfloor $ movimientos

Sea $ABC$ un triángulo, y $B_1,C_1$ sus excentros opuestos a $B,C$ . $B_2,C_2$ son reflexiones de $B_1,C_1$ a través de los puntos medios de $AC,AB$ . Sea $D$ el punto de contacto exterior en $BC$ . Demuestra que $AD$ es perpendicular a $B_2C_2$

Sea el entero $n \ge 2$ , y los números reales $x_1,x_2,\cdots,x_n\in \left[0,1\right] $ . Demuestra que \[\sum_{1\le k<j\le n} kx_kx_j\le \frac{n-1}{3}\sum_{k=1}^n kx_k.\]

¿Existen enteros $a,b,c$ tales que $a^2bc+2,ab^2c+2,abc^2+2$ son cuadrados perfectos?

Para cualquier $n,T \geq 2, n, T \in \mathbb{N}$ , hallar todos los $a \in \mathbb{N}$ tales que $\forall a_i > 0, i = 1, 2, \ldots, n$ , tenemos \[\sum^n_{k=1} \frac{a \cdot k + \frac{a^2}{4}}{S_k} < T^2 \cdot \sum^n_{k=1} \frac{1}{a_k},\] donde $S_k = \sum^k_{i=1} a_i.$