$E$ y $F$ son puntos interiores del cuadrilátero convexo $ABCD$ tales que $AE = BE$ , $CE = DE$ , $\angle AEB = \angle CED$ , $AF = DF$ , $BF = CF$ , $\angle AFD = \angle BFC$ . Demuestra que $\angle AFD + \angle AEB = \pi$ .

Para el entero positivo $x>1$ , defina el conjunto $S_x$ como $$S_x=\{p^\alpha|p \textup{ es uno de los divisores primos de }x,\alpha \in \mathbb{N},p^\alpha|x,\alpha \equiv v_p(x)(\textup{mod} 2)\},$$ donde $v_p(n)$ es la potencia del divisor primo $p$ en el entero positivo $n.$ Sea $f(x)$ la suma de todos los elementos de $S_x$ cuando $x>1,$ y $f(1)=1.$ Sea $m$ un entero positivo dado, y la secuencia $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ satisface que para cualquier entero positivo $n>m,$ $a_{n+1}=\max\{ f(a_n),f(a_{n-1}+1),\cdots,f(a_{n-m}+m)\}.$ Pruebe que (1) existe una constante $A,B(0<A<1),$ tal que cuando el entero positivo $x$ tiene al menos dos divisores primos diferentes, $f(x)<Ax+B$ se cumple; (2) existe un entero positivo $N,l$ , tal que para cualquier entero positivo $n\geq N ,a_{n+l}=a_n$ se cumple.

Amy y Bob eligen números de $0,1,2,\cdots,81$ por turnos y Amy elige el número primero. Cada vez, el que elige el número elige un número de los números restantes. Cuando se eligen los $82$ números, sea $A$ la suma de todos los números que Amy elige, y sea $B$ la suma de todos los números que Bob elige. Durante el proceso, Amy intenta hacer que $\gcd(A,B)$ sea lo más grande posible, y Bob intenta hacer que $\gcd(A,B)$ sea lo más pequeño posible. Suponga que Amy y Bob toman la mejor estrategia de cada uno, respectivamente, determine $\gcd(A,B)$ cuando se eligen los $82$ números.

En $\triangle ABC$ , $AB>AC$ , las bisectrices de $\angle ABC, \angle ACB$ se encuentran con los lados $AC,AB$ en $D,E$ respectivamente. La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ interseca a $ED$ extendido en $P$ . Suponga que $AP=BC$ . Pruebe que $BD\parallel CP$ .

Para el entero positivo n, defina $a_n$ como el número de triángulos con longitud entera de cada lado y la longitud del lado más largo es $2n.$ (1) Encuentre $a_n$ en términos de $n;$ (2)Si la secuencia $\{ b_n\}$ satisface para cualquier entero positivo $n,$ $\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}\binom {n}{k} b_k=a_n.$ Encuentre el número de enteros positivos $n$ que satisfacen que $b_n\leq 2019a_n.$

Sea $X$ una matriz de $5\times 5$ con cada entrada sea $0$ o $1$ . Sea $x_{i,j}$ la entrada $(i,j)$ - ésima de $X$ ( $i,j=1,2,\hdots,5$ ) . Considere todas las $24$ secuencias ordenadas en las filas, columnas y diagonales de $X$ en lo siguiente: \begin{align*}\n&(x_{i,1}, x_{i,2},\hdots,x_{i,5}),\ (x_{i,5},x_{i,4},\hdots,x_{i,1}),\ (i=1,2,\hdots,5) \\\n&(x_{1,j}, x_{2,j},\hdots,x_{5,j}),\ (x_{5,j},x_{4,j},\hdots,x_{1,j}),\ (j=1,2,\hdots,5) \\\n&(x_{1,1},x_{2,2},\hdots,x_{5,5}),\ (x_{5,5},x_{4,4},\hdots,x_{1,1}) \\\n&(x_{1,5},x_{2,4},\hdots,x_{5,1}),\ (x_{5,1},x_{4,2},\hdots,x_{1,5})\n\end{align*} Suponga que todas las secuencias son diferentes. Encuentre todos los valores posibles de la suma de todas las entradas en $X$ .

$n$ símbolos se alinean en una fila, numerados como $1,2,...,n$ de izquierda a derecha. Eliminar cada símbolo con números al cuadrado. Vuelva a numerar el resto de izquierda a derecha. Repita el proceso hasta que se eliminen todos los $n$ símbolos. Sea $f(n)$ el número inicial del último símbolo eliminado. Encuentre $f(n)$ en términos de $n$ y encuentre $f(2019)$ .

$ABCD$ es un paralelogramo con $\angle BAD \neq 90$ . El círculo centrado en $A$ con radio $BA$ denotado como $\omega _1$ interseca el lado extendido de $AB,CB$ en los puntos $E,F$ respectivamente. Suponga que el círculo centrado en $D$ con radio $DA$ , denotado como $\omega _2$ , interseca $AD,CD$ en los puntos $M,N$ respectivamente. Suponga que $EN,FM$ se intersecan en $G$ , $AG$ interseca $ME$ en el punto $T$ . $MF$ interseca $\omega _1$ en $Q \neq F$ , y $EN$ interseca $\omega _2$ en $P \neq N$ . Pruebe que $G,P,T,Q$ son concíclicos.

Sea $[a]$ representa el entero más grande menor o igual que $a$ , para cualquier número real $a$ . Sea $\{a\} = a - [a]$ . ¿Existen enteros positivos $m,n$ y $n+1$ números reales $x_0,x_1,\hdots,x_n$ tales que $x_0=428$ , $x_n=1928$ , $\frac{x_{k+1}}{10} = \left[\frac{x_k}{10}\right] + m + \left\{\frac{x_k}{5}\right\}$ se cumple? Justifique su respuesta.

Para el entero positivo $x>1$ , defina el conjunto $S_x$ como $$S_x=\{p^\alpha|p \textup{ es uno de los divisores primos de }x,\alpha \in \mathbb{N},p^\alpha|x,\alpha \equiv v_p(x)(\textup{mod} 2)\},$$ donde $v_p(n)$ es la potencia del divisor primo $p$ en el entero positivo $n.$ Sea $f(x)$ la suma de todos los elementos de $S_x$ cuando $x>1,$ y $f(1)=1.$ Sea $m$ un entero positivo dado, y la secuencia $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ satisface que para cualquier entero positivo $n>m,$ $a_{n+1}=\max\{ f(a_n),f(a_{n-1}+1),\cdots,f(a_{n-m}+m)\}.$ Pruebe que (1) existe una constante $A,B(0<A<1),$ tal que cuando el entero positivo $x$ tiene al menos dos divisores primos diferentes, $f(x)<Ax+B$ se cumple; (2) existe un entero positivo $Q$ , tal que para cualquier entero positivo $n,a_n<Q.$