Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo dado en un plano. Pruebe que existe una línea con cuatro puntos diferentes $P,Q,R,S$ en ella y un cuadrado $A’B’C’D’$ tal que $P$ se encuentra tanto en la línea $AB$ como en $A’B’,$ $Q$ se encuentra tanto en la línea $BC$ como en $B’C’,$ $R$ se encuentra tanto en la línea $CD$ como en $C’D’,$ $S$ se encuentra tanto en la línea $DA$ como en $D’A’.$

Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo dado. Si los reales positivos $x,y,z$ satisfacen $x+y+z=1,$ encuentre el máximo de $axy+byz+czx.$

Sea $S=\{1928,1929,1930,\cdots,1949\}.$ Llamamos a uno de los subconjuntos de $S$ 's $M$ un subconjunto rojo, si la suma de dos elementos diferentes de $M$ no es divisible por $4.$ Sean $x,y$ el número de subconjuntos rojos de $S$ con $4$ y $5$ elementos, respectivamente. Determine cuál de $x,y$ es mayor y pruébelo.

Como se muestra en la figura, coloque una tabla de cuadrícula de $2\times 5$ en dirección horizontal o vertical, y luego elimine un cuadrado arbitrario de $1\times 1$ en sus cuatro esquinas. Las ocho formas diferentes que constan de los nueve cuadrados pequeños restantes se denominan banners . [asy]\ndefaultpen(linewidth(0.4)+fontsize(10));size(50);\npair A=(-1,1),B=(-1,3),C=(-1,5),D=(-3,5),E=(-5,5),F=(-7,5),G=(-9,5),H=(-11,5),I=(-11,3),J=(-11,1),K=(-9,1),L=(-7,1),M=(-5,1),N=(-3,1),O=(-5,3),P=(-7,3),Aa=(-1,7),Ba=(-1,9),Ca=(-1,11),Da=(-3,11),Ea=(-5,11),Fa=(-7,11),Ga=(-9,11),Ha=(-11,11),Ia=(-11,9),Ja=(-11,7),Ka=(-9,7),La=(-7,7),Ma=(-5,7),Na=(-3,7),Oa=(-5,9),Pa=(-7,9);\ndraw(B--C--H--J--N^^B--I^^D--N^^E--M^^F--L^^G--K);\ndraw(Aa--Ca--Ha--Ja--Aa^^Ba--Ia^^Da--Na^^Ea--Ma^^Fa--La^^Ga--Ka);\n[/asy] [asy]\ndefaultpen(linewidth(0.4)+fontsize(10));size(50);\npair A=(-1,1),B=(-1,3),C=(-1,5),D=(-3,5),E=(-5,5),F=(-7,5),G=(-9,5),H=(-11,5),I=(-11,3),J=(-11,1),K=(-9,1),L=(-7,1),M=(-5,1),N=(-3,1),O=(-5,3),P=(-7,3),Aa=(-1,7),Ba=(-1,9),Ca=(-1,11),Da=(-3,11),Ea=(-5,11),Fa=(-7,11),Ga=(-9,11),Ha=(-11,11),Ia=(-11,9),Ja=(-11,7),Ka=(-9,7),La=(-7,7),Ma=(-5,7),Na=(-3,7),Oa=(-5,9),Pa=(-7,9);\ndraw(B--Ca--Ea--M--N^^B--O^^C--E^^Aa--Ma^^Ba--Oa^^Da--N);\ndraw(L--Fa--Ha--J--L^^Ga--K^^P--I^^F--H^^Ja--La^^Pa--Ia);\n[/asy] Aquí hay una tabla de cuadrícula fija de $9\times 18$. Encuentre el número de formas de cubrir la tabla de cuadrícula completamente con 18 banners .

Sea $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ una función tal que $f(ab)$ divide a $\max \{f(a),b\}$ para cualquier entero positivo $a,b$ . ¿Debe existir infinitos enteros positivos $k$ tales que $f(k)=1$ ?

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en $A,B$ . Los puntos $C,D$ se encuentran en $\Gamma_1$ , los puntos $E,F$ se encuentran en $\Gamma_2$ tales que $A,B$ se encuentran en los segmentos $CE,DF$ respectivamente y los segmentos $CE,DF$ no se intersecan. Sea $CF$ corta a $\Gamma_1,\Gamma_2$ nuevamente en $K,L$ respectivamente, y $DE$ corta a $\Gamma_1,\Gamma_2$ en $M,N$ respectivamente. Si las circunferencias circunscritas de $\triangle ALM$ y $\triangle BKN$ son tangentes, probar que los radios de estos dos círculos son iguales.

Encontrar el número real más grande $k$ , tal que para cualquier número real positivo $a,b$ , $$(a+b)(ab+1)(b+1)\geq kab^2$$

Sean $p>3$ y $p+2$ números primos, y se define la sucesión $$a_{1}=2,a_{n}=a_{n-1}+\lfloor \dfrac{pa_{n-1}}{n}\rfloor$$ demuestra que: para cualquier $n=3,4,\cdots,p-1$ se cumple que $$n|pa_{n-1}+1$$

Dados $10$ puntos en el espacio tales que cada $4$ puntos no se encuentran en un plano. Conecta algunos puntos con algunos segmentos tales que no haya triángulos o cuadriláteros. Encuentra el número máximo de segmentos.

Sean $X,Y$ dos puntos que se encuentran en la línea $BC$ del $\triangle ABC(X,B,C,Y \text{ se encuentran en secuencia})$ tal que $BX\cdot AC=CY\cdot AB$, $O_1,O_2$ son los circuncentros de $\triangle ACX,\triangle ABY$, $O_1O_2\cap AB=U,O_1O_2\cap AC=V$. Demuestra que $\triangle AUV$ es un triángulo isósceles.