Sean $a_1, a_2, \ldots, a_{2016}$ números reales tales que $9a_i\ge 11a^2_{i+1}$ $(i=,2,\cdots,2015)$. Encuentra el valor máximo de $(a_1-a^2_2)(a_2-a^2_3)\cdots (a_{2015}-a^2_{2016})(a_{2016}-a^2_{1})$.

Sea $f(x)$ una función impar en $R$, $f(1)=1$ y $f(\frac{x}{x-1})=xf(x)$ $(\forall x<0)$. Encuentra el valor de $f(1)f(\frac{1}{100})+f(\frac{1}{2})f(\frac{1}{99})+f(\frac{1}{3})f(\frac{1}{98})+\cdots +f(\frac{1}{50})f(\frac{1}{51}).$

Sean $p$ y $p+2$ números primos, $p>3$. Sea la sucesión $\{a_n\}:a_1=2,a_n=a_{n-1}+\left\lceil{\frac{pa_{n-1}}{n}}\right\rceil$. Demuestra que $n\mid pa_{n-1}+1$ para todo $n=3,4,\dots,p-1$.

Sean $m,n$ enteros positivos. Encuentre el entero positivo mínimo $N$ que satisfaga la siguiente condición. Si existe un conjunto $S$ de enteros que contiene un sistema completo de residuos módulo $m$ tal que $| S | = N$, entonces existe un conjunto no vacío $A \subseteq S$ tal que $n\mid {\sum\limits_{x \in A} x }$ .

Para cualquier entero positivo $n$ y $0 \leqslant i \leqslant n$, denotamos $C_n^i \equiv c(n,i)\pmod{2}$, donde $c(n,i) \in \left\{ {0,1} \right\}$. Define \[f(n,q) = \sum\limits_{i = 0}^n {c(n,i){q^i}}\] donde $m,n,q$ son enteros positivos y $q + 1 \ne {2^\alpha }$ para cualquier $\alpha \in \mathbb N$. Demuestre que si $f(m,q)\left| {f(n,q)} \right.$, entonces $f(m,r)\left| {f(n,r)} \right.$ para cualquier entero positivo $r$.

Sea $n \geqslant 2$ un entero. Hay $n$ conjuntos finitos ${A_1},{A_2},\ldots,{A_n}$ que satisfacen la condición \[\left| {{A_i}\Delta {A_j}} \right| = \left| {i - j} \right| \quad \forall i,j \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}.\] Encuentre el mínimo de $\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{A_i}} \right|} $ .

Encuentre todos los números reales positivos $t$ con la siguiente propiedad: existe un conjunto infinito $X$ de números reales tal que la desigualdad \[ \max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td\] se cumple para todos (no necesariamente distintos) $x,y,z\in X$, todos los números reales $a$ y todos los números reales positivos $d$.

Encuentre todos los conjuntos no vacíos $S$ de enteros tales que $3m-2n \in S$ para todos (no necesariamente distintos) $m,n \in S$.

Dos círculos $K_1$ y $K_2$ de diferentes radios se intersecan en dos puntos $A$ y $B$, sean $C$ y $D$ dos puntos en $K_1$ y $K_2$, respectivamente, tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. La extensión de $DB$ se encuentra con $K_1$ en otro punto $E$, la extensión de $CB$ se encuentra con $K_2$ en otro punto $F$. Sean $l_1$ y $l_2$ las bisectrices perpendiculares de $CD$ y $EF$, respectivamente. i) Demuestre que $l_1$ y $l_2$ tienen un único punto común (denotado por $P$). ii) Demuestre que las longitudes de $CA$, $AP$ y $PE$ son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Encuentre todas las soluciones enteras no negativas $(x,y,z,w)$ de la ecuación \[2^x\cdot3^y-5^z\cdot7^w=1.\]