Hay 5 puntos en un rectángulo (incluida su frontera) con área 1, ninguno de los tres está en la misma línea. Encuentre el número mínimo de triángulos con el área no mayor que $\frac 1{4}$ , el vértice de los cuales son tres de los cinco puntos.

La secuencia $\{a_n\}$ se define por: $a_1=\frac{21}{16}$ , y para $n\ge2$ , \[ 2a_n-3a_{n-1}=\frac{3}{2^{n+1}}. \] Sea $m$ un entero con $m\ge2$ . Pruebe que: para $n\le m$ , tenemos \[ \left(a_n+\frac{3}{2^{n+3}}\right)^{\frac{1}{m}}\left(m-\left(\frac{2}{3}\right)^{{\frac{n(m-1)}{m}}}\right)<\frac{m^2-1}{m-n+1}. \]

Como el gráfico, un estanque se divide en 2n (n $\geq$ 5) partes. Dos partes se denominan vecindario si tienen un lado o arco común. Por lo tanto, cada parte tiene tres vecindarios. Ahora hay 4n+1 ranas en el estanque. Si hay tres o más ranas en una parte, entonces tres de las ranas de la parte saltarán a los tres vecindarios respectivamente. Pruebe que en algún momento posterior, las ranas en el estanque se distribuirán uniformemente. Es decir, para cualquier parte, ya sea que haya ranas en la parte o que haya ranas en cada uno de sus vecindarios.

Un círculo se encuentra con los tres lados $BC,CA,AB$ de un triángulo $ABC$ en los puntos $D_1,D_2;E_1,E_2; F_1,F_2$ respectivamente. Además, los segmentos de línea $D_1E_1$ y $D_2F_2$ se intersecan en el punto $L$ , los segmentos de línea $E_1F_1$ y $E_2D_2$ se intersecan en el punto $M$ , los segmentos de línea $F_1D_1$ y $F_2E_2$ se intersecan en el punto $N$ . Pruebe que las líneas $AL,BM,CN$ son concurrentes.

Suponga que $\theta_{i}\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}), i = 1,2,3,4$ . Pruebe que, existe $x\in \mathbb{R}$ , satisfaciendo dos desigualdades \begin{eqnarray*} \cos^2\theta_1\cos^2\theta_2-(\sin\theta\sin\theta_2-x)^2 &\geq& 0, \\ \cos^2\theta_3\cos^2\theta_4-(\sin\theta_3\sin\theta_4-x)^2 & \geq & 0 \end{eqnarray*} si y solo si \[ \sum^4_{i=1}\sin^2\theta_i\leq2(1+\prod^4_{i=1}\sin\theta_i + \prod^4_{i=1}\cos\theta_i). \]

Sea $0 < \alpha, \beta, \gamma < \frac{\pi}{2}$ y $\sin^{3} \alpha + \sin^{3} \beta + \sin^3 \gamma = 1$ . Demuestre que\n\[ \tan^{2} \alpha + \tan^{2} \beta + \tan^{2} \gamma \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} . \]

(1) Encuentre el número posible de raíces para la ecuación $|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = a$ , donde $x \in R$ y $a$ es un parámetro. (2) Sea $\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ una progresión aritmética, $n \in \mathbb{N}$ , y satisface la condición\n\[ \sum^{n}_{i=1}|a_i| = \sum^{n}_{i=1}|a_{i} + 1| = \sum^{n}_{i=1}|a_{i} - 2| = 507. \]\nEncuentre el valor máximo de $n$ .

Sea $P(A)$ la media aritmética de todos los elementos del conjunto $A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ , es decir, $P(A) = \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}a_i$ . Denotamos $B$ como 'subconjunto equilibrado' de $A$ , si $B$ es un subconjunto no vacío de $A$ y $P(B) = P(A)$ . Sea el conjunto $M = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ . Encuentre el número de todos los 'subconjuntos equilibrados' de $M$ .

La línea $l$ es tangente al círculo unitario $S$ en el punto $P$ . El punto $A$ y el círculo $S$ están en el mismo lado de $l$ , y la distancia desde $A$ a $l$ es $h$ ( $h > 2$ ) . Se dibujan dos tangentes del círculo $S$ desde $A$ , e intersecan la línea $l$ en los puntos $B$ y $C$ respectivamente. Encuentre el valor de $PB \cdot PC$ .

Encuentre todas las soluciones enteras positivas $(a, b, c)$ a la función $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2005$ , donde $a \leq b \leq c$ .