Sea $n$ un entero positivo, defina $M = \{ 1, 2, \ldots, 2n \}$ . Encuentre el entero positivo mínimo $k$ tal que para cualquier subconjunto $A$ (con $k$ elementos) del conjunto $M$ , existen cuatro elementos distintos por pares en $A$ cuya suma es $4n + 1$ .

El círculo $C$ (con centro $O$ ) no tiene un punto en común con la línea $l$ . Dibuje $OP$ perpendicular a $l$ , $P \in l$ . Sea $Q$ un punto en $l$ ( $Q$ es diferente de $P$ ) , $QA$ y $QB$ son tangentes al círculo $C$ , e intersecan el círculo en $A$ y $B$ respectivamente. $AB$ interseca $OP$ en $K$ . $PM$ , $PN$ son perpendiculares a $QB$ , $QA$ , respectivamente, $M \in QB$ , $N \in QA$ . Demuestre que el segmento $KP$ es bisecado por la línea $MN$ .

Sea $a \in \mathbb{R}$ un parámetro. (1) Demuestre que las curvas de $y = x^2 + (a + 2)x - 2a + 1$ pasan por un punto fijo; además, los vértices de estas parábolas se encuentran todos en la curva de una cierta parábola. (2) Si la función $x^2 + (a + 2)x - 2a + 1 = 0$ tiene dos raíces reales distintas, encuentre el rango de valores de la raíz más grande.

Suponga que $X$ es un conjunto con $|X| = 56$ . Encontrar el valor mínimo de $n$ , de modo que para cualquier 15 subconjuntos de $X$ , si la cardinalidad de la unión de cualesquiera 7 de ellos es mayor o igual a $n$ , entonces existen 3 de ellos cuya intersección es no vacía.

Sea $\{a_n\}$ una secuencia tal que: $a_1 = \frac{1}{2}$ , $a_{k+1}=-a_k+\frac{1}{2-a_k}$ para todo $k = 1, 2,\ldots$ . Demostrar que \[ \left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\cdots+a_n)}-1\right)^n \leq \left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\cdots \left(\frac{1}{a_n}-1\right). \]

En un triángulo rectángulo $ABC$ , $\angle{ACB} = 90^o$ . Su incírculo $O$ se encuentra con $BC$ , $AC$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ respectivamente. $AD$ corta a $O$ en $P$ . Si $\angle{BPC} = 90^o$ , demostrar que $AE + AP = PD$ .

Los enteros positivos $k, m, n$ satisfacen $mn=k^2+k+3$ , demostrar que al menos una de las ecuaciones $x^2+11y^2=4m$ y $x^2+11y^2=4n$ tiene una solución impar.

Para enteros positivos $a_1,a_2 ,\ldots,a_{2006}$ tales que $\frac{a_1}{a_2},\frac{a_2}{a_3},\ldots,\frac{a_{2005}}{a_{2006}}$ son distintos por pares, encontrar la mínima cantidad posible de enteros positivos distintos en el conjunto $\lbrace a_1,a_2,...,a_{2006}\rbrace$ .

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_k$ números reales y $a_1+a_2+\ldots+a_k=0$ . Demostrar que \[ \max_{1\leq i \leq k} a_i^2 \leq \frac{k}{3} \left( (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+\cdots +(a_{k-1}-a_k)^2\right). \]

Sea la secuencia $\{a_1,a_2,\dots \}$ con términos enteros que satisfacen las siguientes condiciones: 1) $a_{n+1}=3a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}, n=2,3,\dots$ ; 2) $2a_1=a_0+a_2-2$ ; 3) para un número natural arbitrario $m$ , existen $m$ términos consecutivos $a_k, a_{k-1}, \dots ,a_{k+m-1}$ entre la secuencia tales que todos esos $m$ términos son cuadrados perfectos. Demuestre que todos los términos de la secuencia $\{a_1,a_2,\dots \}$ son cuadrados perfectos.