Encuentre el máximo número posible de aristas de un grafo simple con $8$ vértices y sin ningún cuadrilátero. (Un grafo simple es un grafo no dirigido que no tiene bucles (aristas conectadas en ambos extremos al mismo vértice) y no más de una arista entre dos vértices diferentes).

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ está inscrito en un círculo con centro $O$. Las diagonales $AC$ , $BD$ de $ABCD$ se intersecan en $P$ . Los circuncírculos de $\triangle ABP$ y $\triangle CDP$ se intersecan en $P$ y $Q$ ( $O,P,Q$ son distintos por parejas). Demuestre que $\angle OQP=90^{\circ}$.

Dado un cuadrado de $9\times 9$, asignamos ya sea $+1$ o $-1$ a cada cuadrado en la cuadrícula. Definimos un ajuste como sigue: para cada cuadrado en la cuadrícula, hacemos un producto de todos los números de aquellos cuadrados que comparten un lado común con el cuadrado (excluyéndose a sí mismo). Entonces tenemos $81$ productos. Luego reemplazamos todos los valores de los cuadrados con sus productos correspondientes. Determine si podemos hacer que todos los valores en la cuadrícula sean iguales a $1$ a través de ajustes finitos.

Dados números reales no negativos $x_1,x_2,\dots ,x_n$ , sea $a=min\{x_1, x_2,\dots ,x_n\}$. Demuestre que la siguiente desigualdad se cumple: \[ \sum^{n}_{i=1}\dfrac{1+x_i}{1+x_{i+1}}\le n+\dfrac{1}{(1+a)^2}\sum^{n}_{i=1}(x_i-a)^2 \quad\quad (x_{n+1}=x_1),\] y la igualdad ocurre si y solo si $x_1=x_2=\dots =x_n$.

Sea la ecuación $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_1x+a_0=0$ con coeficientes reales que satisfacen $0<a_0\le a_1\le a_2\le \dots \le a_{n-1}\le 1$. Suponga que $\lambda$ ( $|\lambda|>1$ ) es una raíz compleja de la ecuación, demuestre que $\lambda^{n+1}=1$.

Determine todos los valores posibles del entero $k$ para los cuales existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $\dfrac{b+1}{a} + \dfrac{a+1}{b} = k$ .

Hay $n$ $(n \ge 3)$ jugadores en un torneo de tenis de mesa, en el que dos jugadores cualesquiera tienen un partido. Se dice que el jugador $A$ no es superado por el jugador $B$ , si al menos uno de los perdedores del jugador $A$ no es un perdedor de $B$ . Determine, con prueba, todos los valores posibles de $n$ , tales que el siguiente caso podría ocurrir: después de terminar todos los partidos, cada jugador no es superado por ningún otro jugador.

$\Delta ABC$ es un triángulo rectángulo, $\angle C = 90^{\circ}$ . Dibuje un círculo centrado en $B$ con radio $BC$ . Sea $D$ un punto en el lado $AC$ , y $DE$ es tangente al círculo en $E$ . La línea que pasa por $C$ perpendicular a $AB$ se encuentra con la línea $BE$ en $F$ . La línea $AF$ se encuentra con $DE$ en el punto $G$ . La línea que pasa por $A$ paralela a $BG$ se encuentra con $DE$ en $H$ . Demuestre que $GE = GH$ .

Sea $k$ un entero y $k > 1$ . Defina una secuencia $\{a_n\}$ como sigue: $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ , y $a_{n+1} = ka_n + a_{n-1}$ para $n = 1,2,...$ . Determine, con prueba, todos los posibles $k$ para los cuales existen enteros no negativos $l,m (l \not= m)$ y enteros positivos $p,q$ tales que $a_l + ka_p = a_m + ka_q$ .

Sean $a_1,a_2,..,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ números no negativos que satisfacen las siguientes condiciones simultáneamente: \n(1) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = 1$ ;\n(2) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i(a_i - b_i) = 0$ ;\n(3) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2(a_i + b_i) = 10$ .\nDemuestre que $\text{max}\{a_k,b_k\} \le \dfrac{10}{10+k^2}$ para todo $1 \le k \le n$ .