Sean $m$ y $n$ enteros relativamente primos y $m>1,n>1$ . Demuestre que: Existen enteros positivos $a,b,c$ tales que $m^a=1+n^bc$ , y $n$ y $c$ son relativamente primos.

En $\triangle ABC, BC=a, CA=b, AB=c,$ y $\Gamma$ es su circunferencia circunscrita. $(1)$ Determine una condición necesaria y suficiente sobre $a,b$ y $c$ si existe un único punto $P(P\neq B, P\neq C)$ en el arco $BC$ de $\Gamma$ que no pasa por el punto $A$ tal que $PA=PB+PC$ . $(2)$ Sea $P$ el único punto indicado en $(1)$ . Si $AP$ biseca a $BC$ , demuestre que $\angle BAC<60^{\circ}$ .

Sea $n\ge 3$ un entero. Se colocan $n^2$ cartas, cada una etiquetada con $1,2,\ldots ,n^2$ respectivamente, en cualquier orden en $n$ cajas vacías de manera que haya exactamente $n$ cartas en cada caja. Se puede realizar la siguiente operación: primero se seleccionan $2$ cajas, se sacan $2$ cartas de cada una de las cajas seleccionadas y luego se devuelven las cartas a la otra caja seleccionada. Demuestre que, para cualquier orden inicial de las $n^2$ cartas en las cajas, se puede realizar la operación un número finito de veces de tal manera que los números etiquetados en cada caja sean enteros consecutivos.

En el triángulo $ABC$, $\angle{C}=90^{\circ},\angle {A}=30^{\circ}$ y $BC=1$. Encuentre el valor mínimo del lado más largo de todos los triángulos inscritos (es decir, triángulos con vértices en cada uno de los tres lados) del triángulo $ABC$.

Sea $n$ un número natural. Suponga que $x_0=0$ y que $x_i>0$ para todos $i\in\{1,2,\ldots ,n\}$. Si $\sum_{i=1}^nx_i=1$, demuestre que \[1\leq\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\sqrt{1+x_0+x_1+\ldots +x_{i-1}}\sqrt{x_i+\ldots+x_n}} < \frac{\pi}{2} \]

$8$ cantantes participan en un festival. El organizador quiere planificar $m$ conciertos. Para cada concierto hay $4$ cantantes que suben al escenario, con la restricción de que los tiempos en los que cada dos cantantes suben al escenario en un concierto son todos iguales. Encuentre un horario que minimice $m$.

Suponga que la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface \[f(x^3 + y^3)=(x+y)(f(x)^2-f(x)f(y)+f(y)^2)\] para todos $x,y\in\mathbb{R}$. Demuestre que $f(1996x)=1996f(x)$ para todos $x\in\mathbb{R}$.

Encuentre el entero positivo más pequeño $K$ tal que cada subconjunto de $K$ elementos de $ \{1,2,...,50 \}$ contiene dos elementos distintos $a, b$ tales que $a+b$ divide a $ab$.

Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo con ortocentro $H$. Las líneas tangentes desde $A$ al círculo con diámetro $BC$ tocan este círculo en $P$ y $Q$. Demuestre que $H, P$ y $Q$ son colineales.

Encuentra $f: \mathbb{Z}_+ \rightarrow \mathbb{Z}_+$ , tal que para cualquier $x,y \in \mathbb{Z}_+$ , $$f(f(x)+y)\mid x+f(y).$$