Sea $\mathbb{N} = \{1,2, \ldots\}.$ ¿Existe una función $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tal que $\forall n \in \mathbb{N},$ $f^{1989}(n) = 2 \cdot n$ ?

Dado un triángulo $ABC$ , se construyen externamente cuadrados $ABEF, BCGH, CAIJ$ en los lados $AB, BC, CA$ , respectivamente. Sean $AH \cap BJ = P_1$ , $BJ \cap CF = Q_1$ , $CF \cap AH = R_1$ , $AG \cap CE = P_2$ , $BI \cap AG = Q_2$ , $CE \cap BI = R_2$ . Demuestra que el triángulo $P_1 Q_1 R_1$ es congruente con el triángulo $P_2 Q_2 R_2$ .

Encuentra el mayor $n$ tal que $(z+1)^n = z^n + 1$ tiene todas sus raíces no nulas en la circunferencia unitaria, por ejemplo, $(\alpha+1)^n = \alpha^n + 1, \alpha \neq 0$ implica $|\alpha| = 1.$

Sea $v_0 = 0, v_1 = 1$ y $v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},$ $n = 1,2, ...$ . Demuestra que en la secuencia $\{v_n\}$ no hay términos de la forma $3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}$ con $\alpha, \beta \in \mathbb{N}.$

Un triángulo de lados $\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{2}$ se dobla a lo largo de una línea variable perpendicular al lado de $\frac{3}{2}.$ Encuentra el valor máximo del área coincidente.

Suponga que $a,b,c,d$ son reales positivos tales que $ab+cd=1$ y $x_i,y_i$ son números reales tales que $x_i^2+y_i^2=1$ para $i=1,2,3,4$ . Pruebe que \[(ax_1+bx_2+cx_3+dx_4)^2+(ay_4+by_3+cy_2+dy_1)^2\le 2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd}\right).\]

Diez personas solicitan un trabajo. El gerente decide entrevistar a los candidatos uno por uno de acuerdo con las siguientes condiciones: i) los tres primeros candidatos no serán empleados; ii) a partir del cuarto candidato, si la competencia de un candidato supera la competencia de todos los que le precedieron, entonces ese candidato es empleado; iii) si los nueve primeros candidatos no son empleados, entonces el décimo candidato será empleado. Asumimos que ninguno de los $10$ solicitantes tiene la misma competencia, y estas competencias pueden clasificarse de la primera a la décima. Sea $P_k$ representa la probabilidad de que el solicitante con rango $k$ ésimo en competencia sea empleado. Pruebe que: i) $P_1>P_2>\ldots>P_8=P_9=P_{10}$ ; ii) $P_1+P_2+P_3>0.7$ iii) $P_8+P_9+P_{10}\le 0.1$ .

Encuentre todas las ternas de enteros $(a,m,n)$ tales que $a^m+1|a^n+203$ donde $a,m>1$ .

Dado un entero positivo $n$ , encuentre el menor $\lambda>0$ tal que para cualquier $x_1,\ldots x_n\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , la condición $\prod_{i=1}^{n}\tan x_i=2^{\frac{n}{2}}$ implica $\sum_{i=1}^{n}\cos x_i\le\lambda$ .

Determine el tamaño máximo del conjunto $S$ tal que: i) todos los elementos de $S$ son números naturales que no exceden $100$ ; ii) para cualesquiera dos elementos $a,b$ en $S$ , existe $c$ en $S$ tal que $(a,c)=(b,c)=1$ ; iii) para cualesquiera dos elementos $a,b$ en $S$ , existe $d$ en $S$ tal que $(a,d)>1,(b,d)>1$ .