Sean $I$ y $H$ el incentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ respectivamente. Sean $P,Q$ los puntos medios de $AB,AC$ . Los rayos $PI,QI$ intersecan a $AC,AB$ en $R,S$ respectivamente. Suponga que $T$ es el circuncentro del triángulo $BHC$ . Sea $RS$ interseca a $BC$ en $K$ . Pruebe que $A,I$ y $T$ son colineales si y solo si $[BKS]=[CKR]$ .

Suponga que $a_i, b_i, c_i, i=1,2,\cdots ,n$ , son $3n$ números reales en el intervalo $\left [ 0,1 \right ].$ Definir $$S=\left \{ \left ( i,j,k \right ) |\, a_i+b_j+c_k<1 \right \}, \; \; T=\left \{ \left ( i,j,k \right ) |\, a_i+b_j+c_k>2 \right \}.$$ Ahora sabemos que $\left | S \right |\ge 2018,\, \left | T \right |\ge 2018.$ Intente encontrar el valor mínimo posible de $n$ .

Suponga que el número real $\lambda \in \left( 0,1\right),$ y sea $n$ un entero positivo. Demostrar que el módulo de todas las raíces del polinomio $$f\left ( x \right )=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\lambda^{k\left ( n-k \right )}x^{k}$$ son $1.$

Sea $p$ un primo y $k$ un entero positivo. Sea $S$ contiene todos los enteros positivos $a$ que satisfacen $1\le a \le p-1$ , y existe un entero positivo $x$ tal que $x^k\equiv a \pmod p$ . Suponga que $3\le |S| \le p-2$ . Demostrar que los elementos de $S$ , cuando se ordenan en orden creciente, no forman una progresión aritmética.

En el triángulo isósceles $\triangle ABC$ , $AB=AC$ , los puntos $D,E,F$ se encuentran en los segmentos $BC,AC,AB$ tales que $DE\parallel AB$ , $DF\parallel AC$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ $\omega_1$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle AEF$ $\omega_2$ se intersecan en $A,G$ . Sea $DE$ se encuentra con $\omega_2$ en $K\neq E$ . Los puntos $L,M$ se encuentran en $\omega_1,\omega_2$ respectivamente tales que $LG\perp KG, MG\perp CG$ . Sean $P,Q$ los circuncentros de $\triangle DGL$ y $\triangle DGM$ respectivamente. Demostrar que $A,G,P,Q$ son concíclicos.

Hay $32$ estudiantes en la clase con $10$ grupos de interés. Cada grupo contiene exactamente $16$ estudiantes. Para cada pareja de estudiantes, el cuadrado del número de grupos que están involucrados sólo por uno de los dos estudiantes se define como su $disparidad-de-intereses$ . Definir $S$ como la suma de la $disparidad-de-intereses$ de todas las parejas, $\binom{32}{2}\left ( =\: 496 \right )$ unas en total. Determinar el valor mínimo posible de $S$ .

Definir la secuencia polinomial $\left \{ f_n\left ( x \right ) \right \}_{n\ge 1}$ con $f_1\left ( x \right )=1$ , $$f_{2n}\left ( x \right )=xf_n\left ( x \right ), \; f_{2n+1}\left ( x \right ) = f_n\left ( x \right )+ f_{n+1} \left ( x \right ), \; n\ge 1.$$ Buscar todos los números racionales $a$ que son una raíz de cierto $f_n\left ( x \right ).$

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ tales que $(xy+1)(xy+x+2)$ sea un cuadrado perfecto .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC > 90 ^{\circ}$ , y sea $O$ su circuncentro y $\omega$ su circuncírculo. La línea tangente de $\omega$ en $A$ interseca la línea tangente de $\omega$ en $B$ y $C$ respectivamente en los puntos $P$ y $Q$ . Sean $D,E$ los pies de las alturas desde $P,Q$ sobre $BC$ , respectivamente. $F,G$ son dos puntos en $\overline{PQ}$ diferentes de $A$ , de modo que $A,F,B,E$ y $A,G,C,D$ son ambos concíclicos. Sea M el punto medio de $\overline{DE}$ . Demostrar que $DF,OM,EG$ son concurrentes.

Suponga que $A_1,A_2,\cdots ,A_n \subseteq \left \{ 1,2,\cdots ,2018 \right \}$ y $\left | A_i \right |=2, i=1,2,\cdots ,n$ , satisfaciendo que $$A_i + A_j, \; 1 \le i \le j \le n ,$$ son distintos entre sí. $A + B = \left \{ a+b|a\in A,\,b\in B \right \}$ . Determinar el valor máximo de $n$ .