Demostrar que existe una constante $C>0$ tal que $$H(a_1)+H(a_2)+\cdots+H(a_m)\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^{m}i a_i}$$ se cumple para un entero positivo arbitrario $m$ y cualquier $m$ entero positivo $a_1,a_2,\cdots,a_m$ , donde $$H(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.$$

Sea $G$ un grafo simple con 100 vértices tal que para cada vértice $u$ , existe un vértice $v \in N \left ( u \right )$ y $ N \left ( u \right ) \cap N \left ( v \right ) = \o $ . Intente encontrar el número máximo posible de aristas en $G$ . El $ N \left ( . \right )$ se refiere al vecindario.

Sean $\omega_1,\omega_2$ dos círculos no intersecantes, con circuncentros $O_1,O_2$ respectivamente, y radios $r_1,r_2$ respectivamente donde $r_1 < r_2$ . Sean $AB,XY$ las dos tangentes comunes internas de $\omega_1,\omega_2$ , donde $A,X$ se encuentran en $\omega_1$ , $B,Y$ se encuentran en $\omega_2$ . El círculo con diámetro $AB$ se encuentra con $\omega_1,\omega_2$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $$\angle AO_1P+\angle BO_2Q=180^{\circ},$$ encontrar el valor de $\frac{PX}{QY}$ (en términos de $r_1,r_2$ ) .

Sean $M,a,b,r$ enteros no negativos con $a,r\ge 2$ , y suponga que existe una función $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ que satisface las siguientes condiciones: (1) Para todo $n\in \mathbb{Z}$ , $f^{(r)}(n)=an+b$ donde $f^{(r)}$ denota la composición de $r$ copias de $f$ (2) Para todo $n\ge M$ , $f(n)\ge 0$ (3) Para todo $n>m>M$ , $n-m|f(n)-f(m)$ Demostrar que $a$ es una $r$ - ésima potencia perfecta.

Dados enteros positivos $n, k$ tales que $n\ge 4k$ , encontrar el valor mínimo $\lambda=\lambda(n,k)$ tal que para cualquier real positivo $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , tenemos \[ \sum\limits_{i=1}^{n} {\frac{{a}_{i}}{\sqrt{{a}_{i}^{2}+{a}_{{i}+{1}}^{2}+{\cdots}{{+}}{a}_{{i}{+}{k}}^{2}}}} \le \lambda\] Donde $a_{n+i}=a_i,i=1,2,\ldots,k$

Sean $k, M$ enteros positivos tales que $k-1$ no es libre de cuadrados. Demostrar que existe un real positivo $\alpha$ , tal que $\lfloor \alpha\cdot k^n \rfloor$ y $M$ son coprimos para cualquier entero positivo $n$ .

Dos enteros positivos $p,q \in \mathbf{Z}^{+}$ son dados. Hay una pizarra con $n$ enteros positivos escritos en ella. Una operación es elegir dos números iguales $a,a$ escritos en la pizarra, y reemplazarlos con $a+p,a+q$ . Determinar el $n$ más pequeño de modo que tal operación pueda continuar infinitamente.

Una partición entera, es una forma de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que difieren sólo en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Cita: Por ejemplo, 4 se puede dividir en cinco formas distintas: 4 3 + 1 2 + 2 2 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 El número de particiones de n está dado por la función de partición $p\left ( n \right )$ . Entonces $p\left ( 4 \right ) = 5$ . Determinar todos los enteros positivos tales que $p\left ( n \right )+p\left ( n+4 \right )=p\left ( n+2 \right )+p\left ( n+3 \right )$ .

Dado un triángulo $ABC$ . $D$ es un punto que se mueve sobre el borde $BC$ . El punto $E$ y el punto $F$ están en el borde $AB$ y $AC$ , respectivamente, tal que $BE=CD$ y $CF=BD$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle BDE$ y $\triangle CDF$ se intersecan en otro punto $P$ distinto de $D$ . Demostrar que existe un punto fijo $Q$ , tal que la longitud de $QP$ es constante.

Sean $A_1$ , $A_2$ , $\cdots$ , $A_m$ sean $m$ subconjuntos de un conjunto de tamaño $n$ . Demostrar que $$ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}|A_i|\cdot |A_i \cap A_j|\geq \frac{1}{mn}\left(\sum_{i=1}^{m}|A_i|\right)^3.$$