Dado un entero positivo $k$ , llamar $n$ bueno si entre $$\binom{n}{0},\binom{n}{1},\binom{n}{2},...,\binom{n}{n}$$ al menos $0.99n$ de ellos son divisibles por $k$ . Demostrar que existe algún entero positivo $N$ tal que entre $1,2,...,N$ , hay al menos $0.99N$ números buenos.

Las funciones $f,g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisfacen $$f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$$ para cualquier entero $x,y$ . Si $f$ es acotada, demostrar que $g$ es periódica.

El círculo $\omega$ es tangente a los lados $AB$ , $AC$ del triángulo $ABC$ en $D$ , $E$ respectivamente, tal que $D\neq B$ , $E\neq C$ y $BD+CE<BC$ . $F$ , $G$ se encuentran en $BC$ tal que $BF=BD$ , $CG=CE$ . Sean $DG$ y $EF$ se intersectan en $K$ . $L$ se encuentra en el arco menor $DE$ de $\omega$ , tal que la tangente de $L$ a $\omega$ es paralela a $BC$ . Demostrar que el incentro de $\triangle ABC$ se encuentra en $KL$ .

Un número $n$ es interesante si 2018 divide a $d(n)$ (el número de divisores positivos de $n$ ) . Determinar todos los enteros positivos $k$ tales que existe una progresión aritmética infinita con diferencia común $k$ cuyos términos son todos interesantes.

Sean $p,q$ reales positivos con suma 1. Demostrar que para cualquier $n$ - tupla de reales $(y_1,y_2,...,y_n)$ , existe una $n$ - tupla de reales $(x_1,x_2,...,x_n)$ que satisface $$p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i$$ para todo $i=1,2,...,2017$ , donde $x_{2018}=x_1$ .

Sea $n$ un entero positivo dado. Sea $\mathbb{N}_+$ denote el conjunto de todos los enteros positivos. Determina el número de todas las listas finitas $(a_1,a_2,\cdots,a_m)$ tales que: (1) $m\in \mathbb{N}_+$ y $a_1,a_2,\cdots,a_m\in \mathbb{N}_+$ y $a_1+a_2+\cdots+a_m=n$ . (2) El número de todos los pares de enteros $(i,j)$ que satisfacen $1\leq i<j\leq m$ y $a_i>a_j$ es par. Por ejemplo, cuando $n=4$ , el número de todas estas listas $(a_1,a_2,\cdots,a_m)$ es $6$ , y estas listas son $(4),$ $(1,3),$ $(2,2),$ $(1,1,2),$ $(2,1,1),$ $(1,1,1,1)$ .

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $\triangle ABC$ , donde $\angle BAC=120^{\circ}$ . La tangente en $A$ a $(ABC)$ se encuentra con las tangentes en $B,C$ a $(ABC)$ en los puntos $P,Q$ respectivamente. Sean $H,I$ el ortocentro e incentro de $\triangle OPQ$ respectivamente. Define $M,N$ como los puntos medios del arco $\overarc{BAC}$ y $OI$ respectivamente, y sea $MN$ interseca a $(ABC)$ de nuevo en $D$ . Demuestra que $AD$ es perpendicular a $HI$ .

Sean $p, q$ enteros y $p, q > 1$ , $gcd(p, \,6q)=1$ . Demuestra que: $$\sum_{k=1}^{q-1}\left \lfloor \frac{pk}{q}\right\rfloor^2 \equiv 2p \sum_{k=1}^{q-1}k\left\lfloor \frac{pk}{q} \right\rfloor (mod \, q-1)$$

Encuentra todas las sucesiones de números reales $\{b_n\}_{n \geq 1}$ y $\{c_n\}_{n \geq 1}$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Para cualquier entero positivo $n$ , $b_n \leq c_n$ ; (ii) Para cualquier entero positivo $n$ , $b_{n+1}$ y $c_{n+1}$ son las dos raíces de la ecuación $x^2+b_nx+c_n=0$ .

Sean $p,q$ primos, donde $p>q$ . Define $t=\gcd(p!-1,q!-1)$ . Demuestra que $t\le p^{\frac{p}{3}}$ .