Hay $3$ clases con $n$ estudiantes en cada clase, y las alturas de los $3n$ estudiantes son distintas entre sí. Divide a los estudiantes en grupos de $3$ de tal manera que en cada grupo, haya un estudiante de cada clase. En cada grupo, llama al estudiante más alto el 'chico alto'. Supón que para cualquier partición de los estudiantes, hay al menos 10 'chicos altos' en cada clase, demuestra que el valor mínimo de $n$ es $40$.

Sea $n$ un entero y $n \geq 2$ , $x_1, x_2, \cdots , x_n$ son números reales arbitrarios, encuentra el valor máximo de $$2\sum_{1\leq i<j \leq n}\left \lfloor x_ix_j \right \rfloor-\left ( n-1 \right )\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor x_i^2 \right \rfloor $$

En el cuadrilátero $ABCD$ , $AB=AD$ , $CB=CD$ , $\angle ABC =90^\circ$ . $E$ , $F$ están en $AB$ , $AD$ y $P$ , $Q$ están en $EF$ ( $P$ está entre $E, Q$ ) , satisfacen $\frac{AE}{EP}=\frac{AF}{FQ}$ . $X, Y$ están en $CP, CQ$ que satisfacen $BX \perp CP, DY \perp CQ$ . Demuestra que $X, P, Q, Y$ son concíclicos.

Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que, para cualquier subconjunto $A$ de $S=\{1,2,\ldots,2012\}$ con $|A|=k$ , existen tres elementos $x,y,z$ en $A$ tales que $x=a+b$ , $y=b+c$ , $z=c+a$ , donde $a,b,c$ están en $S$ y son enteros distintos.

Considere un entero par libre de cuadrados $n$ y un primo $p$ , tal que 1) $(n,p)=1$ ; 2) $p\le 2\sqrt{n}$ ; 3) Existe un entero $k$ tal que $p|n+k^2$ . Pruebe que existen enteros positivos distintos por pares $a,b,c$ tales que $n=ab+bc+ca$ .

Sea $f(x)=(x + a)(x + b)$ donde $a,b>0$ . Para cualquier real $x_1,x_2,\ldots ,x_n\geqslant 0$ que satisfacen $x_1+x_2+\ldots +x_n =1$ , encuentre el máximo de $F=\sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} {\min \left\{ {f({x_i}),f({x_j})}\right\} } $ .

Demuestre que para cualquier $M>2$ , existe una secuencia creciente de enteros positivos $a_1<a_2<\ldots $ que satisfacen: 1) $a_i>M^i$ para cualquier $i$ ; 2) Existe un entero positivo $m$ y $b_1,b_2,\ldots ,b_m\in\left\{ -1,1\right\}$ , que satisfacen $n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_mb_m$ si y solo si $n\in\mathbb{Z}/ \{0\}$ .

Sea $p$ un primo. Ordenamos los números en ${\{1,2,\ldots ,p^2\} }$ como una matriz de $p \times p$ $A = ( a_{ij} )$ . Luego podemos seleccionar cualquier fila o columna y sumar $1$ a cada número en ella, o restar $1$ de cada número en ella. Llamamos al arreglo bueno si podemos cambiar cada número de la matriz a $0$ en un número finito de tales movimientos. ¿Cuántos arreglos buenos hay?

En el triángulo $ABC$ , $\angle A$ es el mayor. En la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ , sea $D$ el punto medio de $\widehat{ABC}$ y $E$ el punto medio de $\widehat{ACB}$ . El círculo $c_1$ pasa por $A,B$ y es tangente a $AC$ en $A$ , el círculo $c_2$ pasa por $A,E$ y es tangente a $AD$ en $A$ . $c_1$ y $c_2$ se intersecan en $A$ y $P$ . Pruebe que $AP$ biseca a $\angle BAC$ .

Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n,$ tales que $2018 | \left( 1+2^n+3^n+4^n \right).$