En el triángulo $ ABC$ , $ AB=AC$ , el círculo inscrito $ I$ toca $ BC, CA, AB$ en los puntos $ D,E$ y $ F$ respectivamente. $ P$ es un punto en el arco $ EF$ opuesto a $ D$ . La línea $ BP$ interseca al círculo $ I$ en otro punto $ Q$ , las líneas $ EP$ , $ EQ$ se encuentran con la línea $ BC$ en $ M, N$ respectivamente. Demuestra que (1) $ P, F, B, M$ son concíclicos (2 ) $ \frac{EM}{EN} = \frac{BD}{BP}$

Una secuencia de números reales $ \{a_{n}\}$ está definida por $ a_{0}\neq 0,1$ , $ a_1=1-a_0$ , $ a_{n+1}=1-a_n(1-a_n)$ , $ n=1,2,...$ . Demuestra que para cualquier entero positivo $ n$ , tenemos $ a_{0}a_{1}...a_{n}(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n})=1$

Encuentra el entero positivo más pequeño $N$ que satisface : 1 . $209$ │ $N$ 2 . $ S (N) = 209 $ ( Aquí $S(m)$ significa la suma de los dígitos del número $m$ )

Sea $\lfloor m \rfloor$ el entero más grande menor que $m$ . Asume $x,y \in \mathbb{R+}$ , Para todo entero positivo $n$ , $\lfloor x \lfloor ny \rfloor \rfloor =n-1$ . Demuestra : $xy=1$ , $y$ es un número irracional mayor que $ 1 $ .

Dado un sector menor $AOB$ (Aquí menor significa que $ \angle AOB <90$ ) . $O$ es el centro , elige un punto $C$ en el arco $AB$ , Sea $P$ un punto en el segmento $OC$ , une $AP$ , $BP$ , dibuja una línea que pase por $B$ paralela a $AP$ , la línea se encuentra con $OC$ en el punto $Q$ , une $AQ$ . Demuestra que el área del polígono $AQPBO$ no cambia cuando los puntos $P,C$ se mueven .

Asumir : $x,y,z>0$ , $ x^2+y^2+z^2 = 3 $ . Demuestra la siguiente desigualdad : $${ \frac{x^{2009}-2008(x-1)}{y+z}+\frac{y^{2009}-2008(y-1)}{x+z}+\frac{z^{2009}-2008(z-1)}{x+y}\ge\frac{1}{2}(x+y+z)}$$

El capitán y sus tres marineros obtienen $2009$ monedas de oro con el mismo valor . Las cuatro personas decidieron dividir estas monedas según las siguientes reglas : marinero $1$ , marinero $2$ , marinero $3$ cada uno escribe un entero $b_1,b_2,b_3$ , que satisfaga $b_1\ge b_2\ge b_3$ , y ${b_1+b_2+b_3=2009}$ ; el capitán no sabe qué números han escrito los marineros . Él divide $2009$ monedas en $3$ montones , con número de monedas: $a_1,a_2,a_3$ , y $a_1\ge a_2\ge a_3$ . Para el marinero $k$ ( $k=1,2,3$ ) , si $b_k<a_k$ , entonces puede tomar $b_k$ monedas del $k$-ésimo montón ; si $b_k\ge a_k$ , entonces no puede quitar ninguna moneda . Al final , el capitán se queda con el resto de las monedas .Si no importa qué números escriban los marineros , el capitán puede asegurarse de que siempre obtiene $n$ monedas . Encuentra el valor más grande posible de $n$ y demuestra tu conclusión .

Dados $26$ enteros positivos diferentes , en cualquier seis números de los $26$ enteros , hay al menos dos números , uno puede ser dividido por otro. Entonces demuestra : Existe seis números , uno de ellos puede ser dividido por los otros cinco números .

En un triángulo acutángulo $ABC$ , $AB>AC$ , $ \cos B+ \cos C=1$ , $E,F$ están en la extensión de la línea de $AB,AC$ tal que $\angle ABF = \angle ACE = 90$ . (1) Demuestra : $BE+CF=EF$ ; (2) Asume que la bisectriz de $\angle EBC$ se encuentra con $EF$ en $P$ , demuestra que $CP$ es la bisectriz de $\angle BCF$ .

La secuencia { $x_n$ } satisface: $x_1=1$ , ${x_n=\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n-1}}+x_{n-1}}$ ( ${n>=2}$ ) Encuentra el término general de { $x_n$ }