Encuentre todos los polinomios de coeficientes reales $f(x)$ que satisfacen las siguientes condiciones: i. $f(x) = a_0 x^{2n} + a_2 x^{2n - 2} + \cdots + a_{2n - 2}\nx^2 + a_{2n}, a_0 > 0$ ; ii. $\sum_{j=0}^n a_{2j} a_{2n - 2j} \leq \left(\n\begin{array}{c}\n2n\nn\end{array} \right) a_0 a_{2n}$ ; iii. Todas las raíces de $f(x)$ son números imaginarios sin parte real.

Pruebe que existe $m \in \mathbb{N}$ tal que existe una secuencia integral $\{ a_n \rbrace$ que satisface: I. $a_0 = 1, a_1 = 337$ ; II. $(a_{n + 1} a_{n - 1} - a_n^2) + \frac{3}{4}(a_{n + 1} + a_{n - 1} - 2a_n) = m, \forall$ $n \geq 1$ ; III. $\frac{1}{6}(a_n + 1)(2a_n + 1)$ es un cuadrado perfecto $\forall$ $n \geq 1$ .

Hay $ n$ equipos de fútbol en una competencia todos contra todos donde cada 2 equipos se enfrentan una vez. El ganador de cada partido recibe 3 puntos mientras que el perdedor recibe 0 puntos. En el caso de un empate, ambos equipos reciben 1 punto cada uno. Sea $ k$ como sigue: $ 2 \leq k \leq n - 1$ . ¿Al menos cuántos puntos debe obtener un cierto equipo en la competencia para asegurar que haya como máximo $ k - 1$ equipos cuyos puntajes no sean menores que el puntaje de ese equipo en particular?

Dado un número real $\lambda > 1$ , sea $P$ un punto en el arco $BAC$ de la circunferencia circunscrita del $\bigtriangleup ABC$ . Extienda $BP$ y $CP$ a $U$ y $V$ respectivamente tal que $BU = \lambda BA$ , $CV = \lambda CA$ . Luego extienda $UV$ a $Q$ tal que $UQ = \lambda UV$ . Encuentre el lugar geométrico del punto $Q$ .

Sea P un punto interior de un n-gono regular $ A_1 A_2 ...A_n$ , las líneas $ A_i P$ se encuentran con el n-gono regular en otro punto $ B_i$ , donde $ i=1,2,...,n$ . Demuestre que la suma de todos los $ PA_i\geq$ la suma de todos los $ PB_i$ .

Para un entero positivo dado $n$ , encuentra el mayor entero positivo $k$ , tal que existen tres conjuntos de $k$ enteros no negativos distintos, $A=\{x_1,x_2,\cdots,x_k\}, B=\{y_1,y_2,\cdots,y_k\}$ y $C=\{z_1,z_2,\cdots,z_k\}$ con $ x_j+y_j+z_j=n$ para cualquier $ 1\leq j\leq k$ .

Dado $ x,y,z\in (0,1)$ que satisfacen $ \sqrt{\frac{1 - x}{yz}} + \sqrt{\frac{1 - y}{xz}} + \sqrt{\frac{1 - z}{xy}} = 2$ . Encuentra el valor máximo de $ xyz$ .

Cuatro ranas se encuentran en cuatro puntos sobre una línea recta tal que la distancia entre dos puntos vecinos cualesquiera es de 1 unidad de longitud. Suponga que cada rana puede saltar a su punto de reflexión correspondiente, tomando cualquiera de las otras 3 ranas como punto de referencia. Demuestre que no existe tal caso que la distancia entre dos puntos vecinos cualesquiera, donde permanecen las ranas, sea igual a 2008 unidades de longitud.

Dado un entero $ m\geq 2$ , y dos números reales $ a,b$ con $ a > 0$ y $ b\neq 0$ . La secuencia $ \{x_n\}$ es tal que $ x_1 = b$ y $ x_{n + 1} = ax^{m}_{n} + b$ , $ n = 1,2,...$ . Demuestra que (1) cuando $ b < 0$ y m es par, la secuencia está acotada si y sólo si $ ab^{m - 1}\geq - 2$ ; (2) cuando $ b < 0$ y m es impar, o cuando $ b > 0$ la secuencia está acotada si y sólo si $ ab^{m - 1}\geq\frac {(m - 1)^{m - 1}}{m^m}$ .

Dado un entero $ m\geq$ 2, m enteros positivos $ a_1,a_2,...a_m$ . Demuestra que existen infinitos enteros positivos n, tales que $ a_{1}1^{n} + a_{2}2^{n} + ... + a_{m}m^{n}$ es compuesto.