Sea $ (a_{n})_{n\ge 1}$ una secuencia de enteros positivos que satisfacen $ (a_{m},a_{n}) = a_{(m,n)}$ (para todos $m,n\in N^ +$ ) . Demuestre que para cualquier $n\in N^ + ,\prod_{d|n}{a_{d}^{\mu (\frac {n}{d})}}$ es un entero. donde $d|n$ denota que $d$ toma todos los divisores positivos de $n.$ La función $\mu (n)$ se define como sigue: si $n$ puede ser dividido por el cuadrado de cierto número primo, entonces $\mu (1) = 1;\mu (n) = 0$ ; si $n$ se puede expresar como producto de $k$ números primos diferentes, entonces $\mu (n) = ( - 1)^k.$

Encuentre todos los polinomios complejos $P(x)$ tales que para cualquier tres enteros $a,b,c$ que satisfagan $a + b + c\not = 0, \frac{P(a) + P(b) + P(c)}{a + b + c}$ es un entero.

Sean $a > b > 1, b$ es un número impar, sea $n$ un entero positivo. Si $b^n|a^n-1,$ entonces $a^b > \frac {3^n}{n}.$

Sean los números reales no negativos $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ satisfacen $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 1.$ Demuestre que $max\{\sum_{1}^4{\sqrt {a_{i}^2 + a_{i}a_{i - 1} + a_{i - 1}^2 + a_{i - 1}a_{i - 2}}},\sum_{1}^4{\sqrt {a_{i}^2 + a_{i}a_{i + 1} + a_{i + 1}^2 + a_{i + 1}a_{i + 2}}}\}\ge 2.$ Donde para todos los enteros $i, a_{i + 4} = a_{i}$ se cumple.

En el triángulo acutángulo $ABC,$ los puntos $P,Q$ están en sus lados $AB,AC,$ respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ interseca al triángulo $APQ$ en $X$ (diferente de $A$ ) . Sea $Y$ la reflexión de $X$ en la línea $PQ.$ Dado $PX>PB.$ Demuestre que $S_{\bigtriangleup XPQ}>S_{\bigtriangleup YBC}.$ Donde $S_{\bigtriangleup XYZ}$ denota el área del triángulo $XYZ.$

Sea $n$ un compuesto. Demuestre que existe un entero positivo $m$ que satisface $m|n, m\le\sqrt {n},$ y $d(n)\le d^3(m).$ Donde $d(k)$ denota el número de divisores positivos del entero positivo $k.$

Sea $X$ un conjunto que contiene $2k$ elementos, $F$ es un conjunto de subconjuntos de $X$ que consta de ciertos $k$ elementos tales que cualquier subconjunto de $X$ que consta de $k - 1$ elementos está contenido exactamente en un elemento de $F.$ Demuestre que $k + 1$ es un número primo.

Encuentre todos los enteros $n\ge 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualquier $k$ enteros $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ que no son congruentes entre sí (módulo $n$ ) , existe un polinomio entero $f(x)$ tal que la ecuación de congruencia $f(x)\equiv 0 (mod n)$ tiene exactamente $k$ raíces $x\equiv a_{1},a_{2},\cdots,a_{k} (mod n).$

Dado que los puntos $D,E$ están en los lados $AB,BC$ del triángulo $ABC$ , respectivamente, el punto $P$ está en el interior del triángulo $ABC$ tal que $PE = PC$ y $\bigtriangleup DEP\sim \bigtriangleup PCA.$ Demuestre que $BP$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $PAD.$

Sea $f(x)$ un polinomio de grado $n$ todos cuyos coeficientes son iguales a $\pm 1$ , y que tiene a $x = 1$ como su raíz múltiple $m$. Si $m\ge 2^k (k\ge 2,k\in N)$ , entonces $n\ge 2^{k + 1} - 1.$