En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , $CB,DA$ son bisectrices de ángulo externo de $\angle DCA,\angle CDB$ , respectivamente. Los puntos $E,F$ están en los rayos $AC,BD$ respectivamente tales que $CEFD$ es un cuadrilátero cíclico. El punto $P$ está en el plano del cuadrilátero $ABCD$ tal que $DA,CB$ son bisectrices de ángulo externo de $\angle PDE,\angle PCF$ respectivamente. $AD$ interseca a $BC$ en $Q.$ Demuestre que $P$ está en $AB$ si y solo si $Q$ está en el segmento $EF$ .

Sean $\alpha,\beta$ números reales que satisfacen $1 < \alpha < \beta.$ Encuentre el mayor entero positivo $r$ que tiene la siguiente propiedad: cada uno de los enteros positivos está coloreado por uno de $r$ colores arbitrariamente, siempre existen dos enteros $x,y$ que tienen el mismo color tales que $\alpha\le \frac {x}{y}\le\beta.$

Considere la función $f: R\to R$ que satisface las condiciones para cualquier número real mutuamente distinto $a,b,c,d$ que satisfaga $\frac {a - b}{b - c} + \frac {a - d}{d - c} = 0$ , $f(a),f(b),f(c),f(d)$ son mutuamente diferentes y $\frac {f(a) - f(b)}{f(b) - f(c)} + \frac {f(a) - f(d)}{f(d) - f(c)} = 0.$ Demuestre que la función $f$ es lineal.

Encuentre todos los pares de enteros $(a,b)$ que satisfacen $ab(a - b)\not = 0$ tales que existe un subconjunto $Z_{0}$ del conjunto de enteros $Z,$ para cualquier entero $n$ , exactamente uno entre tres enteros $n,n + a,n + b$ pertenece a $Z_{0}$ .

En el pentágono convexo $ABCDE$ , denotemos por $AD\cap BE = F,BE\cap CA = G,CA\cap DB = H,DB\cap EC = I,EC\cap AD = J; AI\cap BE = A',BJ\cap CA = B',CF\cap DB = C',DG\cap EC = D',EH\cap AD = E'.$ Demuestre que $ \frac {AB'}{B'C}\cdot\frac {CD'}{D'E}\cdot\frac {EA'}{A'B}\cdot\frac {BC'}{C'D}\cdot\frac {DE'}{E'A} = 1$ .

Sean $x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ números reales positivos. Denotemos por $X = \sum_{i = 1}^{m}x,Y = \sum_{j = 1}^{n}y.$ Demuestre que $2XY\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}|x_{i} - y_{j}|\ge X^2\sum_{j = 1}^{n}\sum_{l = 1}^{n}|y_{i} - y_{l}| + Y^2\sum_{i = 1}^{m}\sum_{k = 1}^{m}|x_{i} - x_{k}|$

Sean $n,k$ enteros positivos dados que satisfacen $k\le 2n - 1$ . En un torneo de tenis de mesa participan $2n$ jugadores, juegan un total de $k$ rondas, cada ronda se divide en $n$ grupos, cada grupo de dos jugadores. Los dos jugadores en diferentes rondas pueden coincidir en muchas ocasiones. Encuentre el mayor entero positivo $m = f(n,k)$ tal que no importa cómo se desarrolle el torneo, siempre encontramos $m$ jugadores, cada uno de los cuales no se enfrentó entre sí.

Dado que el círculo $\omega$ es tangente internamente al círculo $\Gamma$ en $S.$ $\omega$ toca la cuerda $AB$ de $\Gamma$ en $T$ . Sea $O$ el centro de $\omega.$ El punto $P$ está en la línea $AO.$ Demuestre que $PB\perp AB$ si y solo si $PS\perp TS.$

Determine si existe una progresión aritmética que consta de 40 términos y cada uno de cuyos términos se puede escribir en la forma $2^m + 3^n$ o no. donde $m,n$ son enteros no negativos.

Sea $m > 1$ un entero, $n$ es un número impar que satisface $3\le n < 2m,$ número $a_{i,j} (i,j\in N, 1\le i\le m, 1\le j\le n)$ satisface $ (1)$ para cualquier $1\le j\le n, a_{1,j},a_{2,j},\cdots,a_{m,j}$ es una permutación de $1,2,3,\cdots,m; (2)$ para cualquier $1 < i\le m, 1\le j\le n - 1, |a_{i,j} - a_{i,{j + 1}}|\le 1$ se cumple. Encuentre el valor mínimo de $M$ , donde $M = max_{1 < i < m}\sum_{j = 1}^n{a_{i,j}}.$