Sean los números reales positivos $a,b$ satisfacen $b - a > 2.$ Demuestre que para cualquier par de enteros distintos $m,n$ que pertenecen a $ [a,b),$ siempre existe un conjunto no vacío $S$ que consiste en ciertos enteros que pertenecen a $ [ab,(a + 1)(b + 1))$ tal que $\frac {\displaystyle\prod_{x\in S}}{mn}$ es el cuadrado de un número racional.

Demuestre que para cualquier número primo impar $p,$ el número de enteros positivos $n$ que satisfacen $p|n! + 1$ es menor o igual que $cp^\frac{2}{3}.$ donde $c$ es una constante independiente de $p.$

Dado un entero $n\ge 2$ , encuentre la constante maximal $\lambda (n)$ que tiene la siguiente propiedad: si una secuencia de números reales $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ satisface $0 = a_{0}\le a_{1}\le a_{2}\le \cdots\le a_{n},$ y $a_{i}\ge\frac {1}{2}(a_{i + 1} + a_{i - 1}),i = 1,2,\cdots,n - 1,$ entonces $ (\sum_{i = 1}^n{ia_{i}})^2\ge \lambda (n)\sum_{i = 1}^n{a_{i}^2}.$

Sea $ABC$ un triángulo. El punto $D$ está en su lado $BC$ tal que $\angle CAD = \angle CBA.$ El círculo $(O)$ que pasa por $B,D$ interseca a $AB,AD$ en $E,F$ , respectivamente. $BF$ se encuentra con $DE$ en $G$ . Denotemos por $M$ el punto medio de $AG.$ Demuestre que $CM\perp AO.$

Se sabe que hay $2024$ pares de amigos entre $100$ personas. Demuestra que es posible dividirlos en $50$ pares de modo que: (a) Haya como máximo $20$ pares que sean amigos entre sí; (b) Haya al menos $23$ pares que sean amigos entre sí; (c) Haya exactamente $22$ pares que sean amigos entre sí.

Sea $n$ un entero positivo. Si $x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$, $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$ y, asumiendo $x_{n+1}=x_1$, encuentra el valor máximo de $$\sum_{k=1}^n \frac{1+x_k^2+x_k^4}{1+x_{k+1}+x_{k+1}^2+x_{k+1}^3+x_{k+1}^4}.$$

Sean $n,m,r$ enteros positivos tales que $n>m$ y ambos $n^2+r, m^2+r$ son potencias de $2$. Demuestra que $n>\frac{2m^2}{r}$.

Si un triángulo rectángulo puede ser cubierto por dos círculos unitarios, encuentra el área máxima del triángulo rectángulo.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<BC<CA$ y sea $D$ un punto variable en $BC$. El punto $E$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ es tal que $\angle BAD=\angle BED$. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $AB$ se encuentra con $AC$ en $F$. Demuestra que la medida de $\angle BEF$ es constante a medida que $D$ varía.

Encuentra el real $\lambda$ más pequeño, tal que para cualquier entero positivo $n, a, b$, tal que $n \nmid a+b$, existe un entero positivo $1 \leq k \leq n-1$, que satisface $$\left\{\frac{ak} {n}\right\}+\left\{\frac{bk} {n}\right\} \leq \lambda.$$