Encuentre la constante positiva más pequeña $c$ que satisface: Para cualquier grafo simple $G=G(V,E)$ , si $|E|\geq c|V|$ , entonces $G$ contiene $2$ ciclos sin vértice común, y uno de ellos contiene una cuerda. Nota: El ciclo del grafo $G(V,E)$ es un conjunto de vértices distintos ${v_1,v_2...,v_n}\subseteq V$ , $v_iv_{i+1}\in E$ para todo $1\leq i\leq n$ $(n\geq 3, v_{n+1}=v_1)$ ; un ciclo que contiene una cuerda es el ciclo ${v_1,v_2...,v_n}$ , tal que existe $i,j, 1< i-j< n-1$ , que satisface $v_iv_j\in E$ .

Dado el círculo $O$ con radio $R$ , el triángulo inscrito $ABC$ es un triángulo escaleno agudo, donde $AB$ es el lado más largo. $AH_A, BH_B,CH_C$ son alturas sobre $BC,CA,AB$ . Sea $D$ el punto simétrico de $H_A$ con respecto a $H_BH_C$ , $E$ el punto simétrico de $H_B$ con respecto a $H_AH_C$ . $P$ es la intersección de $AD,BE$ , $H$ es el ortocentro del $\triangle ABC$ . Pruebe: $OP\cdot OH$ es fijo, y encuentre este valor en términos de $R$ .

$A$ es el conjunto de puntos de un $n$ - gono convexo en un plano. Las distancias distintas por pares entre dos puntos en $A$ dispuestas en orden descendente es $d_1>d_2>...>d_m>0$ . Sea el número de pares no ordenados de puntos en $A$ tales que su distancia es $d_i$ sea exactamente $\mu _i$ , para $i=1, 2,..., m$ . Pruebe: Para cualquier entero positivo $k\leq m$ , $\mu _1+\mu _2+...+\mu _k\leq (3k-1)n$ .

Dado un entero positivo fijo $a\geq 9$ . Pruebe: Existen finitamente muchos enteros positivos $n$ , que satisfacen: (1 ) $\tau (n)=a$ (2 ) $n|\phi (n)+\sigma (n)$ Nota: Para el entero positivo $n$ , $\tau (n)$ es el número de divisores positivos de $n$ , $\phi (n)$ es el número de enteros positivos $\leq n$ y relativamente primos con $n$ , $\sigma (n)$ es la suma de los divisores positivos de $n$ .

Pruebe que para cualquier entero positivo $k$ y $N$ , $\left(\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}(\omega (n))^k\right)^{\frac{1}{k}}\leq k+\sum\limits_{q\leq N}\frac{1}{q},$ donde $\sum\limits_{q\leq N}\frac{1}{q}$ es la suma de las potencias primas $q\leq N$ (incluyendo $q=1$ ) . Nota: Para el entero $n>1$ , $\omega (n)$ denota el número de factores primos distintos de $n$ , y $\omega (1)=0$ .

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Llene una tabla de $n\times n$ con los números $1,2,...,n^2$ exactamente una vez cada uno. Dos celdas se denominan adyacentes si tienen un borde común. Se sabe que para dos celdas adyacentes, los números que contienen difieren a lo sumo en $n$ . Muestre que existe un cuadrado de $2\times 2$ de celdas adyacentes tal que los pares diagonalmente opuestos suman el mismo número.

Sean $a_1<a_2<...<a_t$ $t$ enteros positivos dados donde no hay tres que formen una progresión aritmética. Para $k=t,t+1,...$ defina $a_{k+1}$ como el entero positivo más pequeño mayor que $a_k$ que satisfaga la condición de que no hay tres de $a_1,a_2,...,a_{k+1}$ que formen una progresión aritmética. Para cualquier $x\in\mathbb{R}^+$ defina $A(x)$ como el número de términos en $\{a_i\}_{i\ge 1}$ que son a lo sumo $x$ . Muestre que existen $c>1$ y $K>0$ tales que $A(x)\ge c\sqrt{x}$ para cualquier $x>K$ .

Para cualquier secuencia de números reales $\{x_n\}$ , suponga que $\{y_n\}$ es una secuencia tal que: $y_1=x_1, y_{n+1}=x_{n+1}-(\sum\limits_{i = 1}^{n} {x^2_i})^{ \frac{1}{2}}$ ${ (n \ge 1)}$ . Encuentre el número positivo más pequeño $\lambda$ tal que para cualquier secuencia de números reales $\{x_n\}$ y todos los enteros positivos $m$ , se tenga $\frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^{m} {x^2_i}\le\sum\limits_{i = 1}^{m} {\lambda^{m-i}y^2_i} .$

Sea la función $f:N^*\to N^*$ tal que (1) $(f(m),f(n))\le (m,n)^{2014} , \forall m,n\in N^*$ ; (2) $n\le f(n)\le n+2014 , \forall n\in N^*$ Muestre que: existe un entero positivo $N$ tal que $ f(n)=n $ , para cada entero $n \ge N$ .

Sea $A$ un conjunto finito de números positivos, $B=\{\frac{a+b}{c+d} |a,b,c,d \in A \}$. Muestre que: $\left | B \right | \ge 2\left | A \right |^2-1 $, donde $|X| $ es el número de elementos del conjunto finito $X$.