Sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) del triángulo \(ABC\) . Sean \(E, F\) puntos en los lados \(AB, AC\) respectivamente tales que \(DE = DF\) . Demuestra que \(AE + AF = BE + CF \iff \angle EDF = \angle BAC\).

Demuestra que existen infinitos enteros \(n\) que satisfacen \(2017^2 | 1^n + 2^n + ... + 2017^n\) .

Una secuencia \(\{a_n\}\) se define como sigue: \(a_1 = 1\) , \(a_2 = \frac{1}{3}\) , y para todo \(n \geq 1,\) \(\frac{(1+a_n)(1+a_{n+2})}{(1+a_{n+1})^2} = \frac{a_na_{n+2}}{a_{n+1}^2}\) . Demuestra que, para todo \(n \geq 1\) , \(a_1 + a_2 + ... + a_n < \frac{34}{21}\) .

Dado un polígono convexo con 20 vértices, hay muchas maneras de triangularlo (como 18 triángulos). Llamamos al diagrama de triangulación, que significa los 20 vértices, con 37 aristas (17 aristas de triangulación y las 20 aristas originales), un diagrama T. Y el subconjunto de este diagrama T con 10 aristas que cubre los 20 vértices (lo que significa que ninguna dos aristas en el subconjunto cubre el mismo vértice) llama un 'matching perfecto' de este diagrama T. Entre todos los diagramas T, encuentra el número máximo de 'matching perfecto' de un diagrama T.

Sea $a_1=1,$ $a_2=2,$ $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2},$ $n=3,4,\cdots.$ Demuestra que para cualquier entero $n\geq5,$ $a_n$ tiene al menos un factor primo $p,$ tal que $p\equiv 1\pmod{4}.$

Sea $n\geq3$ un entero dado, y sean $a_1,a_2,\cdots,a_{2n},b_1,b_2,\cdots,b_{2n}$ $4n$ reales no negativos, tales que $$a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=b_1+b_2+\cdots+b_{2n}>0,$$ y para cualquier $i=1,2,\cdots,2n,$ $a_ia_{i+2}\geq b_i+b_{i+1},$ donde $a_{2n+1}=a_1,$ $a_{2n+2}=a_2,$ $b_{2n+1}=b_1.$ Determina el mínimo de $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}.$

En el triángulo $ABC$, $AB=BC$, y sea $I$ el incentro del $\triangle ABC$. $M$ es el punto medio del segmento $BI$. $P$ se encuentra en el segmento $AC$, tal que $AP=3PC$. $H$ se encuentra en la línea $PI$, tal que $MH\perp PH$. $Q$ es el punto medio del arco $AB$ de la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$. Demuestra que $BH\perp QH$.

Demostrar que el intervalo $\lbrack 0,1 \rbrack$ puede dividirse en intervalos blancos y negros para cualquier polinomio cuadrático $P(x)$ , de forma que la suma de los pesos de los intervalos negros sea igual a la suma de los pesos de los intervalos blancos. (Definir el peso del intervalo $\lbrack a,b \rbrack$ como $P(b) - P(a)$ .) ¿Se cumple el mismo resultado con un polinomio de grado 3 o de grado 5?

$A$ y $B$ juegan el siguiente juego con un polinomio de grado al menos 4: \[ x^{2n} + \_x^{2n - 1} + \_x^{2n - 2} + \ldots + \_x + 1 = 0 \]\n$A$ y $B$ se turnan para rellenar uno de los espacios en blanco con un número real hasta que todos los espacios en blanco estén llenos. Si el polinomio resultante no tiene raíces reales, $A$ gana. De lo contrario, $B$ gana. Si $A$ comienza, ¿qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Sea $S = \lbrace A = (a_1, \ldots, a_s) \mid a_i = 0$ o $1, i = 1, \ldots, 8 \rbrace$ . Para cualesquiera 2 elementos de $S$ , $A = \lbrace a_1, \ldots, a_8\rbrace$ y $B = \lbrace b_1, \ldots, b_8\rbrace$ . Sea $d(A,B) = \sum_{i=1}{8} |a_i - b_i|$ . Llamar a $d(A,B)$ la distancia entre $A$ y $B$ . ¿Como máximo cuántos elementos puede tener $S$ tal que la distancia entre dos conjuntos cualesquiera sea al menos 5?