21 personas realizan una prueba con 15 preguntas de verdadero o falso. Se sabe que cada 2 personas tienen al menos 1 respuesta correcta en común. ¿Cuál es el número mínimo de personas que podrían haber respondido correctamente la pregunta en la que la mayoría de las personas acertaron?

Dado un ángulo agudo fijo $\theta$ y un par de círculos internamente tangentes, sea la línea $l$ que pasa por el punto de tangencia, $A$ , corta el círculo más grande nuevamente en $B$ ( $l$ no pasa por los centros de los círculos). Sea $M$ un punto en el arco mayor $AB$ del círculo más grande, $N$ el punto donde $AM$ intersecta el círculo más pequeño, y $P$ el punto en el rayo $MB$ tal que $\angle MPN = \theta$ . Encontrar el lugar geométrico de $P$ cuando $M$ se mueve en el arco mayor $AB$ del círculo más grande.

Encontrar el número primo más pequeño $p$ que no puede ser representado en la forma $|3^{a} - 2^{b}|$ , donde $a$ y $b$ son enteros no negativos.

Para cualquier $h = 2^{r}$ ($r$ es un entero no negativo), encontrar todos los $k \in \mathbb{N}$ que satisfagan la siguiente condición: Existe un número natural impar $m > 1$ y $n \in \mathbb{N}$, tal que $k \mid m^{h} - 1, m \mid n^{\frac{m^{h}-1}{k}} + 1$.

Sea $n$ un número natural mayor que 2. $l$ es una línea en un plano. Hay $n$ puntos distintos $P_1$, $P_2$, …, $P_n$ en $l$. Sea el producto de las distancias entre $P_i$ y los otros $n-1$ puntos sea $d_i$ ($i = 1, 2,$ …, $n$). Existe un punto $Q$, que no está en $l$, en el plano. Sea la distancia de $Q$ a $P_i$ sea $C_i$ ($i = 1, 2,$ …, $n$). Encontrar $S_n = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{n-i} \frac{c_i^2}{d_i}$.

En el $\bigtriangleup ABC$ acutángulo, $H$ es el ortocentro, $O$ es el circuncentro e $I$ es el incentro. Dado que $\angle C > \angle B > \angle A$, demostrar que $I$ se encuentra dentro de $\bigtriangleup BOH$.

Para un $\theta \in \lbrack 0, \frac{\pi}{2} \rbrack$ fijo, encontrar el $a \in \mathbb{R}^{+}$ más pequeño que satisfaga las siguientes condiciones: I. $\frac{\sqrt a}{\cos \theta} + \frac{\sqrt a}{\sin \theta} >\n1$ . II. Existe $x \in \lbrack 1 - \frac{\sqrt a}{\sin \theta},\n\frac{\sqrt a}{\cos \theta} \rbrack$ tal que $\lbrack (1 -\nx)\sin \theta - \sqrt{a - x^2 \cos^{2} \theta} \rbrack^{2} +\n\lbrack x\cos \theta - \sqrt{a - (1 - x)^2 \sin^{2} \theta}\n\rbrack^{2} \leq a$.

$n \geq 5$ equipos de fútbol participan en un torneo todos contra todos. Por cada partido jugado, el ganador recibe 3 puntos, el perdedor recibe 0 puntos, y en caso de empate, ambos equipos reciben 1 punto. El antepenúltimo equipo tiene menos puntos que todos los equipos clasificados antes que él, y más puntos que los últimos 2 equipos; ganó más partidos que todos los equipos antes que él, pero menos partidos que los 2 equipos detrás de él. Encontrar el $n$ más pequeño posible.

Encontrar $k \in \mathbb{N}$ tal que a.) Para cualquier $n \in \mathbb{N}$, no existe $j \in \mathbb{Z}$ que satisfaga las condiciones $0 \leq j \leq n - k + 1$ y $\left(\n\begin{array}{c}\nn\j\end{array} \right), \left( \begin{array}{c}\nn\j + 1\end{array} \right), \ldots, \left( \begin{array}{c}\nn\j + k - 1\end{array} \right)$ forma una progresión aritmética. b.) Existe $n \in \mathbb{N}$ tal que existe $j$ que satisface $0 \leq j \leq n - k + 2$, y $\left(\n\begin{array}{c}\nn\j\end{array} \right), \left( \begin{array}{c}\nn\j + 1\end{array} \right), \ldots , \left( \begin{array}{c}\nn\j + k - 2\end{array} \right)$ forma una progresión aritmética. Encontrar todos los $n$ que satisfacen la parte b.)

Sea $n$ ( $\ge 4$ ) un entero par. Etiquetamos $n$ números reales distintos por pares arbitrariamente en los $n$ vértices de un $n$ - gono regular, y etiquetamos los $n$ lados en el sentido de las agujas del reloj como $e_1, e_2, \ldots, e_n$ . Un lado se llama positivo si los números en ambos puntos finales aumentan en el sentido de las agujas del reloj. Un par no ordenado de lados distintos $\left\{ e_i,e_j \right\}$ se llama alternante si satisface ambas condiciones: (i) $2 \mid (i+j)$ ; y (ii) si uno reorganiza los cuatro números en los vértices de estos dos lados $e_i$ y $e_j$ en orden creciente $a < b < c < d$ , entonces $a$ y $c$ son los números en los dos puntos finales de uno de los lados $e_i$ o $e_j$ . Demuestre que el número de pares de lados alternantes y el número de lados positivos son de diferente paridad.