Como se muestra en la figura, $\odot O_1$ y $\odot O_2$ se tocan externamente en un punto $T$ , el cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en $\odot O_1$ , y las líneas $DA$ , $CB$ son tangentes a $\odot O_2$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. La línea $BN$ biseca $\angle ABF$ y se encuentra con el segmento $EF$ en $N$ . La línea $FT$ se encuentra con el arco $\widehat{AT}$ (que no pasa por el punto $B$ ) en otro punto $M$ diferente de $A$ . Demuestre que $M$ es el circuncentro de $\triangle BCN$ .

Sea $S$ un subconjunto de $\{0,1,2,\ldots,98 \}$ con exactamente $m\geq 3$ elementos (distintos), tal que para cualquier $x,y\in S$ existe $z\in S$ que satisface $x+y \equiv 2z \pmod{99}$ . Determine todos los valores posibles de $m$ .

Para cualquier número positivo dado $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , demuestre que existen números positivos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ que satisfacen $\sum_{i=1}^n x_i=1$ , tales que para cualquier número positivo $y_1,y_2,\ldots,y_n$ con $\sum_{i=1}^n y_i=1$ , la desigualdad $\sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i}{x_i+y_i}\ge \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n a_i$ se cumple.

Encuentre el número de polinomios $f(x)=ax^3+bx$ que satisfacen ambas condiciones siguientes: (i) $a,b\in\{1,2,\ldots,2013\}$ ; (ii) la diferencia entre dos cualquiera de $f(1),f(2),\ldots,f(2013)$ no es múltiplo de $2013$ .

En un grupo de $m$ chicas y $n$ chicos, dos personas cualesquiera se conocen o no se conocen. Para dos chicos cualesquiera y dos chicas cualesquiera, hay al menos un chico y una chica entre ellos que no se conocen. Demuestre que el número de pares no ordenados de (chico, chica) que se conocen no excede $m+\frac{n(n-1)}{2}$ .

Como se muestra en la figura, $ABCD$ es un trapecio, $AB \parallel CD$ . Los lados $DA$ , $AB$ , $BC$ son tangentes a $\odot O_1$ y $AB$ toca a $\odot O_1$ en $P$ . Los lados $BC$ , $CD$ , $DA$ son tangentes a $\odot O_2$ , y $CD$ toca a $\odot O_2$ en $Q$ . Demuestre que las líneas $AC$ , $BD$ , $PQ$ se encuentran en el mismo punto.

Sea $A$ la región cerrada delimitada por las siguientes tres líneas en el plano $xy$: $x=1, y=0$ y $y=t(2x-t)$ , donde $0<t<1$ . Demuestre que el área de cualquier triángulo dentro de la región $A$ , con dos vértices $P(t,t^2)$ y $Q(1,0)$ , no excede $\frac{1}{4}.$

Encuentre todos los números primos $p$ tales que existe un polinomio con coeficientes enteros $f(x)=x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+…+a_1x+a_0$ que tiene $p-1$ raíces enteras positivas consecutivas y $p^2\mid f(i)f(-i)$ , donde $i$ es la unidad imaginaria.

En $\triangle ABC$ , tenemos $AB>AC>BC$ . $D,E,F$ son los puntos de tangencia del círculo inscrito de $\triangle ABC$ con los segmentos de línea $AB,BC,AC$ respectivamente. Los puntos $L,M,N$ son los puntos medios de los segmentos de línea $DE,EF,FD$ . La línea recta $NL$ se interseca con el rayo $AB$ en $P$ , la línea recta $LM$ se interseca con el rayo $BC$ en $Q$ y la línea recta $NM$ se interseca con el rayo $AC$ en $R$ . Demuestre que $PA \cdot QB \cdot RC = PD \cdot QE \cdot RF$ .

Dado un entero positivo $n\geq 2$ . Sea $A=\{ (a,b)\mid a,b\in \{ 1,2,…,n\} \}$ el conjunto de puntos en el plano de coordenadas cartesianas. ¿De cuántas maneras se pueden colorear los puntos en $A$ , cada uno con uno de los tres colores fijos, de tal manera que, para cualquier $a,b\in \{ 1,2,…,n-1\}$ , si $(a,b)$ y $(a+1,b)$ tienen el mismo color, entonces $(a,b+1)$ y $(a+1,b+1)$ también tienen el mismo color?