Dados dos puntos $E$ y $F$ que se encuentran en el segmento $AB$ y $AD$ , respectivamente. Sean los segmentos $BF$ y $DE$ que se intersecan en el punto $C$ . Si se sabe que $AE+EC=AF+FC$ , demuestre que $AB+BC=AD+DC$ .

Dados $8$ enteros positivos distintos por pares $a_1,a_2,…,a_8$ tales que el máximo común divisor de cualquiera de tres de ellos es igual a $1$ . Demuestre que existe un entero positivo $n\geq 8$ y $n$ enteros positivos distintos por pares $m_1,m_2,…,m_n$ con el máximo común divisor de todos los $n$ números igual a $1$ tal que para cualquier entero positivo $1\leq p<q<r\leq n$ , existen enteros positivos $1\leq i<j\leq 8$ tal que $a_ia_j\mid m_p+m_q+m_r$ .

Para cualquier entero positivo $n$ , tenemos el conjunto $P_n = \{ n^k \mid k=0,1,2, \ldots \}$ . Para los enteros positivos $a,b,c$ , definimos el grupo de $(a,b,c)$ como afortunado si existe un entero positivo $m$ tal que $a-1$ , $ab-12$ , $abc-2015$ (los tres números no necesitan ser diferentes entre sí) pertenecen al conjunto $P_m$ . Encuentre el número de grupos afortunados.

Dado una secuencia $\{ a_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+}$ definido por $a_1=1$ y $a_{2k}=a_{2k-1}+a_k,a_{2k+1}=a_{2k}$ para todo entero positivo $k$ . Demuestra que, para todo entero positivo $n$ , $a_{2^n}>2^{\frac{n^2}{4}}$ .

Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ con $AB>AC$ . Sea $\Gamma$ el círculo con diámetro $AI$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ interseca a $\Gamma$ en los puntos $A,D$ , con el punto $D$ situado en el $\overarc{AC}$ (que no contiene a $B$ ) . Sea la recta que pasa por $A$ y es paralela a $BC$ interseca a $\Gamma$ en los puntos $A,E$ . Si $DI$ es la bisectriz del ángulo $\angle CDE$ , y $\angle ABC = 33^{\circ}$ , halle el valor de $\angle BAC$ .

Para cualquier entero $m,n$ , tenemos el conjunto $A(m,n) = \{ x^2+mx+n \mid x \in \mathbb{Z} \}$ , donde $\mathbb{Z}$ es el conjunto de enteros. ¿Existen tres elementos distintos $a,b,c$ que pertenezcan a $A(m,n)$ y satisfagan la igualdad $a=bc$ ?

En $\triangle ABC$ , tenemos $AB>AC>BC$ . $D,E,F$ son los puntos de tangencia del círculo inscrito de $\triangle ABC$ con los segmentos de línea $AB,BC,AC$ respectivamente. Los puntos $L,M,N$ son los puntos medios de los segmentos de línea $DE,EF,FD$ . La línea recta $NL$ se interseca con el rayo $AB$ en $P$ , la línea recta $LM$ se interseca con el rayo $BC$ en $Q$ y la línea recta $NM$ se interseca con el rayo $AC$ en $R$ . Demuestre que $PA \cdot QB \cdot RC = PD \cdot QE \cdot RF$ .

En $\triangle ABC$ , tenemos tres aristas con longitudes $BC=a, \, CA=b \, AB=c$ , y $c<b<a<2c$ . $P$ y $Q$ son dos puntos de las aristas de $\triangle ABC$ , y la línea recta $PQ$ divide a $\triangle ABC$ en dos partes con la misma área. Halle el valor mínimo de la longitud del segmento de línea $PQ$ .

Suponga que $a,b$ son números reales, la función $f(x) = ax+b$ satisface $\mid f(x) \mid \leq 1$ para cualquier $x \in [0,1]$ . Encuentre el rango de valores de $S= (a+1)(b+1).$

Para cualquier entero positivo $n$ , tenemos el conjunto $P_n = \{ n^k \mid k=0,1,2, \ldots \}$ . Para los enteros positivos $a,b,c$ , definimos el grupo de $(a,b,c)$ como afortunado si existe un entero positivo $m$ tal que $a-1$ , $ab-12$ , $abc-2015$ (los tres números no necesitan ser diferentes entre sí) pertenecen al conjunto $P_m$ . Encuentre el número de grupos afortunados.