Dado un entero positivo arbitrario $ a$ mayor que $ 1$ , demuestra que para cualquier entero positivo $ n$ , siempre existe un polinomio de grado n con coeficientes enteros $ p(x)$ , tal que $ p(0)$ , $ p(1)$ , $ \cdots$ , $ p(n)$ son enteros positivos distintos por parejas, y todos tienen la forma de $ 2a^k+3$ , donde $ k$ también es un entero.

Dos círculos de igual radio con centros $ O_1$ y $ O_2$ se intersecan en $ P$ y $ Q$ , $ O$ es el punto medio de la cuerda común $ PQ$ . Dos líneas $ AB$ y $ CD$ se dibujan a través de $ P$ ( $ AB$ y $ CD$ no coinciden con $ PQ$ ) tales que $ A$ y $ C$ se encuentran en el círculo $ O_1$ y $ B$ y $ D$ se encuentran en el círculo $ O_2$ . $ M$ y $ N$ son los puntos medios de los segmentos $ AD$ y $ BC$ respectivamente. Sabiendo que $ O_1$ y $ O_2$ no están en la parte común de los dos círculos, y $ M$ , $ N$ no coinciden con $ O$ . Demuestra que $ M$ , $ N$ , $ O$ son colineales.

Sean $ m_1$ , $ m_2$ , $ \cdots$ , $ m_r$ (puede que no sean distintos) y $ n_1$ , $ n_2$ $ \cdots$ , $ n_s$ (puede que no sean distintos) dos grupos de enteros positivos tales que para cualquier entero positivo $ d$ mayor que $ 1$ , los números que pueden ser divididos por $ d$ en el grupo $ m_1$ , $ m_2$ , $ \cdots$ , $ m_r$ (incluyendo números repetidos) no son menores que los del grupo $ n_1$ , $ n_2$ $ \cdots$ , $ n_s$ (incluyendo números repetidos). Demuestra que $ \displaystyle \frac{m_1 \cdot m_2 \cdots m_r}{n_1 \cdot n_2 \cdots n_s}$ es entero.

$ S$ es un subconjunto no vacío del conjunto $ \{ 1, 2, \cdots, 108 \}$ , que satisface: (1) Para cualquier par de números $ a,b \in S$ (puede que no sean distintos), existe $ c \in S$ , tal que $ \gcd(a,c)=\gcd(b,c)=1$ . (2) Para cualquier par de números $ a,b \in S$ (puede que no sean distintos), existe $ c' \in S$ , $ c' \neq a$ , $ c' \neq b$ , tal que $ \gcd(a, c') > 1$ , $ \gcd(b,c') >1$ . Encuentra el valor más grande posible de $ |S|$ .

El cuadrilátero convexo $ ABCD$ está inscrito en un círculo, $ \angle{A}=60^o$ , $ BC=CD=1$ , los rayos $ AB$ y $ DC$ se intersecan en el punto $ E$ , los rayos $ BC$ y $ AD$ se intersecan entre sí en el punto $ F$ . Se da que los perímetros del triángulo $ BCE$ y el triángulo $ CDF$ son ambos enteros. Encuentra el perímetro del cuadrilátero $ ABCD$ .

Dado un entero $ n$ mayor que $ 5$ , resuelve el sistema de ecuaciones (asumiendo $x_i \geq 0$ , para $ i=1,2, \dots n$ ) :\n\[\n\begin{cases} \displaystyle x_1+ \phantom{2^2} x_2+ \phantom{3^2} x_3 + \cdots + \phantom{n^2} x_n &= n+2, \\ x_1 + 2\phantom{^2}x_2 + 3\phantom{^2}x_3 + \cdots + n\phantom{^2}x_n &= 2n+2, \\ x_1 + 2^2x_2 + 3^2 x_3 + \cdots + n^2x_n &= n^2 + n +4, \\ x_1+ 2^3x_2 + 3^3x_3+ \cdots + n^3x_n &= n^3 + n + 8.\n\end{cases}\n\]

Encuentra todos los enteros positivos $ n$ que satisfacen la siguiente condición: Existen enteros positivos $ m$ , $ a_1$ , $ a_2$ , $ \cdots$ , $ a_{m-1}$ , tales que $ \displaystyle n = \sum_{i=1}^{m-1} a_i(m-a_i)$ , donde $ a_1$ , $ a_2$ , $ \cdots$ , $ a_{m-1}$ pueden no ser distintos y $ 1 \leq a_i \leq m-1$ .

Veintiuna chicas y veintiún chicos participaron en una competencia matemática. Resultó que cada concursante resolvió a lo sumo seis problemas, y para cada par de una chica y un chico, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la chica como por el chico. Demuestra que hay un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos.

Usando $ AB$ y $ AC$ como diámetros, se construyen dos semicírculos respectivamente fuera del triángulo acutángulo $ ABC$ . $ AH \perp BC$ en $ H$ , $ D$ es cualquier punto en el lado $ BC$ ( $ D$ no coincide con $ B$ o $ C$ ), a través de $ D$ , construye $ DE \parallel AC$ y $ DF \parallel AB$ con $ E$ y $ F$ en los dos semicírculos respectivamente. Demuestra que $ D$ , $ E$ , $ F$ y $ H$ son concíclicos.

Sean $a, b, c$ los lados de un triángulo cuyo perímetro no excede $2 \cdot \pi.$ , Demuestra que $ \sin a, \sin b, \sin c$ son los lados de un triángulo.