En la figura de http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=50643&mode=view $\odot O_1$ y $\odot O_2$ se intersectan en dos puntos $A$ , $B$ . La extensión de $O_1A$ se encuentra con $\odot O_2$ en $C$ , y la extensión de $O_2A$ se encuentra con $\odot O_1$ en $D$ , y a través de $B$ dibuja $BE \parallel O_2A$ intersecando $\odot O_1$ de nuevo en $E$ . Si $DE \parallel O_1A$ , demuestre que $DC \perp CO_2$.

El más grande de los números $ p_1^{\alpha_1}, p_2^{\alpha_2}, \cdots, p_t^{\alpha_t}$ se llama un $ \textbf{Buen Número}$ del entero positivo $ n$ , si $ \displaystyle n= p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_t^{\alpha_t}$ , donde $ p_1$ , $ p_2$ , $ \cdots$ , $ p_t$ son primos distintos por parejas y $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t$ son enteros positivos. Sean $ n_1, n_2, \cdots, n_{10000}$ $ 10000$ enteros positivos distintos tales que los $ \textbf{Buenos Números}$ de $ n_1, n_2, \cdots, n_{10000}$ son todos iguales. Demuestra que existen enteros $ a_1, a_2, \cdots, a_{10000}$ tales que dos cualesquiera de las siguientes $ 10000$ progresiones aritméticas $ \{ a_i, a_i + n_i, a_i + 2n_i, a_i + 3n_i, \cdots \}$ ( $ i=1,2, \cdots 10000$ ) no tienen términos comunes.

Hay $ n \geq 5$ puntos distintos por parejas en el plano. Para cada punto, hay solo cuatro puntos cuya distancia desde el cual es $ 1$ . Encuentra el valor máximo de $ n$ .

Dada la secuencia $ \{ c_n \}$ que satisface las condiciones que $ c_0=1$ , $ c_1=0$ , $ c_2=2005$ , y $ c_{n+2}=-3c_n - 4c_{n-1} +2008$ , ( $ n=1,2,3, \cdots$ ) . Sea $ \{ a_n \}$ otra secuencia tal que $ a_n=5(c_{n+1} - c_n) \cdot (502 - c_{n-1} - c_{n-2}) + 4^n \times 2004 \times 501$ , ( $ n=2,3, \cdots$ ) . ¿Es $ a_n$ un cuadrado perfecto para cada $ n > 2$ ?

En el cuadrilátero convexo $ ABCD$ , $ AB=a$ , $ BC=b$ , $ CD=c$ , $ DA=d$ , $ AC=e$ , $ BD=f$ . Si $ \max \{a,b,c,d,e,f \} =1$ , entonces encuentra el valor máximo de $ abcd$ .

Sea $ k$ un entero positivo. Se dice que $ A \subseteq \mathbb{Z}$ es un $ \textbf{k - conjunto}$ si existen $ x_1, x_2, \cdots, x_k \in \mathbb{Z}$ tales que para cualquier $ i \neq j$ , $ (x_i + A) \cap (x_j + A) = \emptyset$ , donde $ x + A = \{ x + a \mid a \in A \}$ . Demuestra que si $ A_i$ es un $ \textbf{k}_i\textbf{ - conjunto}$ ( $ i = 1,2, \cdots, t$ ) , y $ A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_t = \mathbb{Z}$ , entonces $ \displaystyle \frac {1}{k_1} + \frac {1}{k_2} + \cdots + \frac {1}{k_t} \geq 1$ .

Dados los reales no nulos $ a$ , $ b$ , encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}$ , tales que para cada $ x, y \in \mathbb{R}$ , $ y \neq 0$ , $ f(2x) = af(x) + bx$ y $ \displaystyle f(x)f(y) = f(xy) + f \left( \frac {x}{y} \right)$ .

Encuentra todos los enteros positivos $ m$ si existe un número primo $ p$ tal que $ n^m-m$ no puede ser dividido por $ p$ para ningún entero $ n$ .

Encuentra el real positivo más grande $ k$ , tal que para cualquier real positivo $ a,b,c,d$ , siempre se cumpla:\n\[ (a+b+c) \left[ 3^4(a+b+c+d)^5 + 2^4(a+b+c+2d)^5 \right] \geq kabcd^3\]

Encuentra el valor más grande del número real $ \lambda$ , tal que siempre que el punto $ P$ se encuentre en el triángulo acutángulo $ ABC$ que satisface $ \angle{PAB}=\angle{PBC}=\angle{PCA}$ , y los rayos $ AP$ , $ BP$ , $ CP$ intersecan la circunferencia circunscrita de los triángulos $ PBC$ , $ PCA$ , $ PAB$ en los puntos $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ respectivamente, entonces $ S_{A_1BC}+ S_{B_1CA}+ S_{C_1AB} \geq \lambda S_{ABC}$ .