Dado $n\ge 3$ . Considera una secuencia $a_1,a_2,...,a_n$ , si $(a_i,a_j,a_k)$ con i+k=2j (i<j<k) y $a_i+a_k\ne 2a_j$ , llamamos a tal terna una terna $NOT-AP$ . Si una secuencia tiene al menos una terna $NOT-AP$ , encuentra el número mínimo posible de ternas $NOT-AP$ que contiene.

Un plano no tiene ningún vértice de un dodecaedro regular en él, intenta encontrar cuántas aristas como máximo puede intersectar el plano al dodecaedro regular?

Dado un entero $m\geq2$ , $x_1,...,x_m$ son números reales no negativos, prueba que: $$(m-1)^{m-1}(x_1^m+...+x_m^m)\geq(x_1+...+x_m)^m-m^mx_1...x_m$$ y por favor encuentra cuando se cumple la igualdad.

Dado un entero $d>1,m$ , prueba que existen enteros $k>l>0$ , tales que $$(2^{2^k}+d,2^{2^l}+d)>m.$$

Encuentra la cantidad de arreglos ordenados $(x_1,...,x_{100})$ que satisfacen las siguientes condiciones: ( $i$ ) $x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\}$ ; ( $ii$ ) $2017|x_1+...+x_{100}$ ; ( $iii$ ) $2017|x_1^2+...+x_{100}^2$ .

En $\varDelta{ABC}$ , el excírculo de $A$ es tangente al segmento $BC$ , a las líneas $AB$ y $AC$ en $E,D,F$ respectivamente . $EZ$ es el diámetro del círculo . $B_1$ y $C_1$ están en $DF$ , y $BB_1\perp{BC}$ , $CC_1\perp{BC}$ . Las líneas $ZB_1,ZC_1$ intersectan a $BC$ en $X,Y$ respectivamente. La línea $EZ$ y la línea $DF$ se intersectan en $H$ , $ZK$ es perpendicular a $FD$ en $K$ . Si $H$ es el ortocentro de $\varDelta{XYZ}$ , prueba que : $H,K,X,Y$ son concíclicos.

Prueba que : $$\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}$$

Cada celda de una cuadrícula de $2017\times 2017$ está coloreada de negro o blanco, de tal manera que cada celda tiene al menos un lado en común con otra celda del mismo color. Sea $V_1$ el conjunto de todas las celdas negras, $V_2$ el conjunto de todas las celdas blancas. Para el conjunto $V_i (i=1,2)$ , si dos celdas comparten un lado común, dibuja una arista con los centros de las dos celdas como puntos finales, obteniendo los grafos $G_i$ . Si tanto $G_1$ como $G_2$ son caminos conectados (sin ciclos, sin divisiones), demuestra que el centro de la cuadrícula es uno de los puntos finales de $G_1$ o $G_2$ .

Demuestra que existe una constante real positiva $C$ tal que para cualquier natural $H,N$ que satisfaga $H \geq 3, N \geq e^{CH}$ , para cualquier subconjunto de $\{1,2,\ldots,N\}$ con tamaño $\lceil \frac{CHN}{\ln N} \rceil$ , se pueden encontrar $H$ naturales en él tales que el máximo común divisor de cualquier par de elementos es el máximo común divisor de todos los $H$ elementos.

Demuestra que existe un polinomio mónico de grado $58$ $$P(x) = x^{58} + a_1x^{57} + \cdots + a_{58}$$ tal que $P(x)$ tiene exactamente $29$ raíces reales positivas y $29$ raíces reales negativas y que $\log_{2017} |a_i|$ es un entero positivo para todo $1 \leq i \leq 58$ .