Sea $X$ un conjunto de $100$ elementos. Encuentra el $n$ más pequeño posible que satisfaga la siguiente condición: Dada una secuencia de $n$ subconjuntos de $X$ , $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , existe $1 \leq i < j < k \leq n$ tal que $$A_i \subseteq A_j \subseteq A_k \text{ o } A_i \supseteq A_j \supseteq A_k.$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo no cíclico. Los pies de las perpendiculares desde $A$ a $BC,BD,CD$ son $P,Q,R$ respectivamente, donde $P,Q$ se encuentran en los segmentos $BC,BD$ y $R$ se encuentra en $CD$ extendido. Los pies de las perpendiculares desde $D$ a $AC,BC,AB$ son $X,Y,Z$ respectivamente, donde $X,Y$ se encuentran en los segmentos $AC,BC$ y $Z$ se encuentra en $BA$ extendido. Sea $H$ el ortocentro del $\triangle ABD$ . Demuestra que la cuerda común de las circunferencias circunscritas de $\triangle PQR$ y $\triangle XYZ$ biseca a $BH$ .

Sea $n \geq 4$ un natural y sean $x_1,\ldots,x_n$ reales no negativos tales que $x_1 + \cdots + x_n = 1$ . Determina el valor máximo de $x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_nx_1x_2$ .

Sea $M$ un subconjunto de $\mathbb{R}$ tal que se satisfacen las siguientes condiciones: a) Para cualquier $x \in M, n \in \mathbb{Z}$ , se tiene que $x+n \in \mathbb{M}$ . b) Para cualquier $x \in M$ , se tiene que $-x \in M$ . c) Tanto $M$ como $\mathbb{R}$ \ $M$ contienen un intervalo de longitud mayor que $0$ . Para cualquier real $x$ , sea $M(x) = \{ n \in \mathbb{Z}^{+} | nx \in M \}$ . Demuestra que si $\alpha,\beta$ son reales tales que $M(\alpha) = M(\beta)$ , entonces debemos tener que uno de $\alpha + \beta$ y $\alpha - \beta$ es racional.

Sea $ \varphi(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros. Dado que $ \varphi(x)$ tiene 3 raíces reales distintas $u,v,w $ y $u,v,w $ no son números racionales. Existen enteros $ a, b,c$ tales que $u=av^2+bv+c$ . Demuestra que $b^2 -2b -4ac - 7$ es un número cuadrado .

Se da un entero $n>1$ . Encuentra el número positivo más pequeño $m$ que satisface las siguientes condiciones: para cualquier conjunto $\{a,b\}$ $\subset \{1,2,\cdots,2n-1\}$ , existen enteros no negativos $ x, y$ (no todos cero) tales que $2n|ax+by$ y $x+y\leq m.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sea $l$ una línea. Sea $l$ interseca las líneas $AB,CD,BC,DA,AC,BD$ en los puntos $X,X',Y,Y',Z,Z'$ respectivamente. Dado que estos seis puntos en $l$ están en el orden $X,Y,Z,X',Y',Z'$ , demuestra que los círculos con diámetro $XX',YY',ZZ'$ son coaxiales.

$2017$ ingenieros asisten a una conferencia. Si dos ingenieros conversan, conversan entre sí en chino o en inglés. Ningún par de ingenieros conversa entre sí más de una vez. Se sabe que dentro de cualquier grupo de cuatro ingenieros, hubo un número par de conversaciones y, además, dentro de este número par de conversaciones: i) Al menos una conversación es en chino. ii) O no hay conversaciones en inglés o el número de conversaciones en inglés es al menos el de las conversaciones en chino. Demuestra que existen $673$ ingenieros tales que cada par de ellos conversó entre sí en chino.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $D_n$ el conjunto de todos los divisores de $n$ y sea $f(n)$ denota el mínimo $m$ natural tal que los elementos de $D_n$ son distintos por pares en módulo $m$ . Demuestra que existe un $N$ natural tal que para todo $n \geq N$ , se tiene $f(n) \leq n^{0.01}$ .

Para un entero positivo dado $n$ y un número primo $p$ , encuentra el valor mínimo del entero positivo $m$ que satisface la siguiente propiedad: para cualquier polinomio $$f(x)=(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n)$$ ( $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son enteros positivos), y para cualquier entero no negativo $k$ , existe un entero no negativo $k'$ tal que $$v_p(f(k))<v_p(f(k'))\leq v_p(f(k))+m.$$ Nota: para un entero no nulo $N$ , $v_p(N)$ es el entero no nulo más grande $t$ que satisface $p^t\mid N$ .