Sea $m$ un entero positivo dado. Define $a_k=\frac{(2km)!}{3^{(k-1)m}},k=1,2,\cdots.$ Pruebe que hay infinitos enteros e infinitos no enteros en la secuencia $\{a_k\}$ .

La secuencia $\{a_n\}$ satisface $a_1 = \frac{1}{2}$ , $a_2 = \frac{3}{8}$ , y $a_{n + 1}^2 + 3 a_n a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} (a_n + a_{n + 2}) (n \in \mathbb{N^*})$ . $(1)$ Determine la fórmula general de la secuencia $\{a_n\}$ ; $(2)$ Pruebe que para cualquier entero positivo $n$ , existe $0 < a_n < \frac{1}{\sqrt{2n + 1}}$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $O$ , donde $AC\perp BD$ . $M,N$ son los puntos medios del arco $ADC,ABC$ . $DO$ y $AN$ se intersecan entre sí en $G$ , la línea pasa por $G$ y es paralela a $NC$ e interseca a $CD$ en $K$ . Pruebe que $AK\perp BM$ .

Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2017}$ números reales que satisfacen $a_1=a_{2017}$ , $|a_i+a_{i+2}-2a_{i+1}|\le 1$ para todo $i=1,2,\dots,2015$ . Encuentre el valor máximo de $\max_{1\le i<j\le 2017}|a_i-a_j|$ .

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $D_n$ el conjunto de todos los divisores positivos de $n$ , y sea $f_i(n)$ el tamaño del conjunto $$F_i(n) = \{a \in D_n | a \equiv i \pmod{4} \}$$ donde $i = 1, 2$ . Determine el entero positivo más pequeño $m$ tal que $2f_1(m) - f_2(m) = 2017$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. En $ABC$ , $AB \neq AB$ , $K$ es el punto medio de la mediana $AD$ , $DE \perp AB$ en $E$ , $DF \perp AC$ en $F$ . Las líneas $KE$ , $KF$ se intersecan con la línea $BC$ en $M$ , $N$ , respectivamente. Los circuncentros de $\triangle DEM$ , $\triangle DFN$ son $O_1, O_2$ , respectivamente. Pruebe que $O_1 O_2 \parallel BC$ .

Sean $x_i \in \{0, 1\} (i = 1, 2, \cdots, n)$ . Si la función $f = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ solo es igual a $0$ o $1$ , entonces defina $f$ como una 'función booleana de $n$ variables' y denote $$D_n (f) = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_n) | f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0 \}$$. $(1)$ Determine el número de funciones booleanas de $n$ variables; $(2)$ Sea $g$ una función booleana de $10$ variables que satisface $$g(x_1, x_2, \cdots, x_{10}) \equiv 1 + x_1 + x_1 x_2 + x_1 x_2 x_3 + \cdots + x_1 x_2\cdots x_{10} \pmod{2}$$ Evalúe el tamaño del conjunto $D_{10} (g)$ y $\sum\limits_{(x_1, x_2, \cdots, x_{10}) \in D_{10} (g)} (x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{10})$ .

Hay una computadora rota tal que solo se reservan tres datos primitivos $c$ , $1$ y $-1$ . La única operación permitida puede tomar $u$ y $v$ y dar como resultado $u \cdot v + v.$ Al principio, $u,v \in \{c, 1, -1\}.$ Después de eso, también puede tomar el valor del paso anterior (solo un paso atrás) además de $\{c, 1, -1\}$ . Pruebe que para cualquier polinomio $P_{n}(x) = a_0 \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \ldots + a_n$ con coeficientes enteros, el valor de $P_n(c)$ se puede calcular usando esta computadora después de solo una operación finita.

Se da un polígono $\prod$ en el plano $OXY$ y su área excede a $n.$ Pruebe que existen $n+1$ puntos $P_{1}(x_1, y_1), P_{2}(x_2, y_2), \ldots, P_{n+1}(x_{n+1}, y_{n+1})$ en $\prod$ tales que $\forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n+1\}$ , $x_j - x_i$ y $y_j - y_i$ son todos enteros.

Sea $ABCD$ un trapecio $AB // CD,$ $M$ y $N$ son puntos fijos en $AB,$ $P$ es un punto variable en $CD$ . $E = DN \cap AP$ , $F = DN \cap MC$ , $G = MC \cap PB$ , $DP = \lambda \cdot CD$ . Encuentre el valor de $\lambda$ para el cual el área del cuadrilátero $PEFG$ es máxima.