Sea $f(x) = 3x + 2.$ Pruebe que existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $f^{100}(m)$ es divisible por $1988$ .

Sea $k \in \mathbb{N},$ $S_k = \{(a, b) | a, b = 1, 2, \ldots, k \}.$ Dos elementos cualesquiera $(a, b)$ , $(c, d)$ $\in S_k$ se denominan 'no distinguibles' en $S_k$ si $a - c \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ y $b - d \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ ; de lo contrario, los llamamos 'distinguibles'. Por ejemplo, $(1, 1)$ y $(2, 5)$ son no distinguibles en $S_5$ . Considerando el subconjunto $A$ de $S_k$ tal que los elementos de $A$ son distinguibles por pares. Sea $r_k$ el número máximo posible de elementos de $A$ .\n(i) Encuentre $r_5$ .\n(ii) Encuentre $r_7$ .\n(iii) Encuentre $r_k$ para $k \in \mathbb{N}$ .

En el triángulo $ABC$ , $\angle C = 30^{\circ}$ , $O$ e $I$ son el circuncentro y el incentro respectivamente, los puntos $D \in AC$ y $E \in BC$ , tales que $AD = BE = AB$ . Pruebe que $OI = DE$ y $OI \bot DE$ .

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{C}$ que satisfacen\n(i) Para cualquier $x_1, x_2, \ldots, x_{1988} \in \mathbb{Q}$ , $f(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{1988}) = f(x_1)f(x_2) \ldots f(x_{1988})$ .\n(ii) $\overline{f(1988)}f(x) = f(1988)\overline{f(x)}$ para todo $x \in \mathbb{Q}$ .

Suponga que los números reales $A,B,C$ son tales que para todos los números reales $x,y,z$ se cumple la siguiente desigualdad:\n\[A(x-y)(x-z) + B(y-z)(y-x) + C(z-x)(z-y) \geq 0.\]\nEncuentre la condición necesaria y suficiente que $A,B,C$ deben satisfacer (expresada mediante una igualdad o una desigualdad).

Determine el menor número impar $a > 5$ que satisfaga las siguientes condiciones: Existen enteros positivos $m_1,m_2, n_1, n_2$ tales que $a=m_1^2+n_1^2$ , $a^2=m_2^2+n_2^2$ , y $m_1-n_1=m_2-n_2.$

Dado un entero $n \geq 3$ , sea $S =\{p_1, p_2, \cdots, p_m\}$ que consta de permutaciones $p_i$ de $(1, 2, \cdots, n)$ . Suponga que entre cada tres números distintos en $\{1, 2, \cdots, n\}$ , uno de estos números no se encuentra entre los otros dos números en cada permutación $p_i$ ( $1 \leq i \leq m$ ) . (Por ejemplo, en la permutación $(1, 3, 2, 4)$ , $3$ se encuentra entre $1$ y $4$ , y $4$ no se encuentra entre $1$ y $2$ . ) Determine el valor máximo de $m$ .

En el triángulo acutángulo $ABC$ , $AB > AC$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . La bisectriz del ángulo exterior de $\widehat{BAC}$ se encuentra con el rayo $BC$ en $P$ . Los puntos $K$ y $F$ se encuentran en la línea $PA$ tales que $MF \perp BC$ y $MK \perp PA$ . Demuestre que $BC^2 = 4 PF \cdot AK$ .

Sean $f(x)$ y $g(x)$ funciones lineales estrictamente crecientes de $\mathbb R $ a $\mathbb R $ tales que $f(x)$ es un entero si y sólo si $g(x)$ es un entero. Demuestre que para cualquier número real $x$ , $f(x)-g(x)$ es un entero.

Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n$ números reales con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$ . Demuestre que \[\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{k}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} ix_i^2}}\right)^2 \cdot \dfrac{x_k^2}{k} \leq \left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)^2 \sum_{k=1}^{n} \dfrac{x_k^2}{k}\] Determine cuándo se cumple la igualdad.