Encuentre la constante máxima $ M$ , tal que para un entero arbitrario $ n\geq 3,$ existen dos secuencias de números reales positivos $ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},$ y $ b_{1},b_{2},\cdots,b_{n},$ que satisfacen (1) : $ \sum_{k = 1}^{n}b_{k} = 1,2b_{k}\geq b_{k - 1} + b_{k + 1},k = 2,3,\cdots,n - 1;$ (2) : $ a_{k}^2\leq 1 + \sum_{i = 1}^{k}a_{i}b_{i},k = 1,2,3,\cdots,n, a_{n}\equiv M$ .

Para dos enteros positivos dados $ m,n > 1$ , sea $ a_{ij} (i = 1,2,\cdots,n, \; j = 1,2,\cdots,m)$ números reales no negativos, no todos cero, encuentre los valores máximo y mínimo de $ f$ , donde \[ f = \frac {n\sum_{i = 1}^{n}(\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + m\sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i= 1}^{n}a_{ij})^2}{(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + mn\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}^2}. \]

Demuestre que para un entero positivo arbitrario $ n\geq 4$ , existe una permutación de los subconjuntos que contienen al menos dos elementos del conjunto $ G_{n} = \{1,2,3,\cdots,n\}$ : $ P_{1},P_{2},\cdots,P_{2^n - n - 1}$ tal que $ |P_{i}\cap P_{i + 1}| = 2,i = 1,2,\cdots,2^n - n - 2.$

Suponga que a cada entero positivo se le ha dado uno de los colores rojo, azul, arbitrariamente. Demuestre que existe una secuencia infinita de enteros positivos $ a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdots < a_{n} < \cdots,$ tal que la secuencia infinita de enteros positivos $ a_{1},\frac {a_{1} + a_{2}}{2},a_{2},\frac {a_{2} + a_{3}}{2},a_{3},\frac {a_{3} + a_{4}}{2},\cdots$ tiene el mismo color.

La secuencia $ \{x_{n}\}$ se define por $ x_{1} = 2,x_{2} = 12$ , y $ x_{n + 2} = 6x_{n + 1} - x_{n}$ , $ (n = 1,2,\ldots)$ . Sea $ p$ un número primo impar, sea $ q$ un divisor primo de $ x_{p}$ . Demuestre que si $ q\neq2,3,$ entonces $ q\geq 2p - 1$ .

Sea $ ABC$ un triángulo, sea $ AB > AC$ . Su incírculo toca el lado $ BC$ en el punto $ E$ . El punto $ D$ es la segunda intersección del incírculo con el segmento $ AE$ (diferente de $ E$ ). El punto $ F$ (diferente de $ E$ ) se toma en el segmento $ AE$ tal que $ CE = CF$ . El rayo $ CF$ se encuentra con $ BD$ en el punto $ G$ . Demuestre que $ CF = FG$ .

Dado un entero positivo $n$, sea $D$ el conjunto de todos los divisores positivos de $n$. Los subconjuntos $A,B$ de $D$ satisfacen que para cualquier $a \in A$ y $b \in B$, se cumple que $a \nmid b$ y $b \nmid a$. Demuestra que \[ \sqrt{|A|}+ \sqrt{|B|} \le \sqrt{|D|}. \]

Sea $n$ un entero positivo, $x_1,x_2,\ldots,x_{2n}$ sean números reales no negativos con suma $4$. Demuestra que existen enteros $p$ y $q$, con $0 \le q \le n-1$, tales que \[ \sum_{i=1}^q x_{p+2i-1} \le 1 \mbox{ y } \sum_{i=q+1}^{n-1} x_{p+2i} \le 1, \] donde los índices se toman módulo $2n$. Nota: Si $q=0$, entonces $\sum_{i=1}^q x_{p+2i-1}=0$; si $q=n-1$, entonces $\sum_{i=q+1}^{n-1} x_{p+2i}=0$.

Encuentra todos los enteros positivos $a,b,c$ y el primo $p$ que satisfacen \[ 2^a p^b=(p+2)^c+1.\]

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para cualquier $x,y \in \mathbb R$, el multiconjunto $\{ (f(xf(y)+1),f(yf(x)-1) \}$ es idéntico al multiconjunto $\{ xf(f(y))+1,yf(f(x))-1 \}$. Nota: El multiconjunto $\{a,b\}$ es idéntico al multiconjunto $\{c,d\}$ si y sólo si $a=c,b=d$ o $a=d,b=c$.